Задача:
Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение:
1. Определим общее время, которое рыболов отсутствовал:
- Рыболов отправился в 5:00 утра.
- Вернулся в 10:00 утра.
- Общее время отсутствия: \(10 - 5 = 5\) часов.
2. Определим время, которое рыболов потратил на ловлю рыбы:
- На ловлю рыбы было потрачено 2 часа.
3. Определим время, которое лодка находилась в движении (туда и обратно):
- Время в движении = Общее время отсутствия - Время ловли рыбы. \[t_{движения} = 5 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 3 \text{ ч}.\]
4. Определим скорости лодки:
- Собственная скорость лодки \(v_{лодки} = 6\) км/ч.
- Скорость течения реки \(v_{реки} = 2\) км/ч.
- Скорость лодки против течения: \(v_{против} = v_{лодки} - v_{реки} = 6 - 2 = 4\) км/ч.
- Скорость лодки по течению: \(v_{по} = v_{лодки} + v_{реки} = 6 + 2 = 8\) км/ч.
5. Обозначим расстояние, на которое рыболов отдалился от пристани, как \(S\).
- Время, затраченное на путь туда (против течения): \(t_{туда} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{4}\).
- Время, затраченное на путь обратно (по течению): \(t_{обратно} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{8}\).
6. Суммарное время движения лодки равно 3 часам:
\[t_{туда} + t_{обратно} = t_{движения}\] \[\frac{S}{4} + \frac{S}{8} = 3\]7. Решим уравнение для \(S\):
- Приведем дроби к общему знаменателю (8): \[\frac{2S}{8} + \frac{S}{8} = 3\] \[\frac{2S + S}{8} = 3\] \[\frac{3S}{8} = 3\]
- Умножим обе части уравнения на 8: \[3S = 3 \cdot 8\] \[3S = 24\]
- Разделим обе части на 3: \[S = \frac{24}{3}\] \[S = 8\]
Ответ: Рыболов отдалился от пристани на 8 км.