Решение производной функции y = sin^3(6x)

Задание: Найдите производную функции \( y = \sin^3 6x \). Решение: Данная функция является сложной. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: производная внешней функции умножается на производную внутренней функции. В нашем случае функцию можно представить как последовательность вложенных функций: 1. Внешняя функция — это возведение в куб: \( u^3 \). 2. Промежуточная функция — это синус: \( \sin(v) \). 3. Внутренняя функция — это линейное выражение: \( 6x \). Применим правило дифференцирования: \[ y' = (\sin^3 6x)' \] Сначала берем производную от степени (внешней функции): \[ y' = 3 \cdot \sin^2 6x \cdot (\sin 6x)' \] Теперь берем производную от синуса: \[ y' = 3 \cdot \sin^2 6x \cdot \cos 6x \cdot (6x)' \] Находим производную от \( 6x \), которая равна 6: \[ y' = 3 \cdot \sin^2 6x \cdot \cos 6x \cdot 6 \] Перемножаем коэффициенты: \[ y' = 18 \sin^2 6x \cos 6x \] Ответ: \( y' = 18 \sin^2 6x \cos 6x \).