Задача:
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.
Решение:
1. Обозначим неизвестные и известные величины:
- Расстояние между пунктами А и В: \(S_{AB} = 13\) км.
- Пусть скорость пешехода \(v_п\) км/ч.
- Скорость велосипедиста \(v_в = v_п + 11\) км/ч.
- Время остановки велосипедиста: \(t_{ост} = 0,5\) часа (получасовая остановка).
- Место встречи: в 8 км от пункта В.
2. Определим расстояния, которые прошли пешеход и велосипедист до встречи:
- Расстояние от А до В = 13 км.
- Встреча произошла в 8 км от пункта В.
- Значит, пешеход прошел расстояние от А до места встречи: \(S_п = S_{AB} - 8 = 13 - 8 = 5\) км.
- Велосипедист проехал расстояние от В до места встречи: \(S_в = 8\) км.
3. Определим время движения пешехода:
- Время, которое пешеход был в пути до встречи: \(t_п = \frac{S_п}{v_п} = \frac{5}{v_п}\) часов.
4. Определим время движения велосипедиста:
- Время, которое велосипедист ехал (без учета остановки): \(t_{в\_движ} = \frac{S_в}{v_в} = \frac{8}{v_п + 11}\) часов.
- Общее время, которое велосипедист находился в пути (включая остановку): \(t_в = t_{в\_движ} + t_{ост} = \frac{8}{v_п + 11} + 0,5\) часов.
5. Так как пешеход и велосипедист вышли одновременно и встретились, то их общее время в пути (от начала движения до встречи) одинаково:
\[t_п = t_в\] \[\frac{5}{v_п} = \frac{8}{v_п + 11} + 0,5\]6. Решим это уравнение относительно \(v_п\):
- Перенесем член с \(v_п\) в левую часть: \[\frac{5}{v_п} - \frac{8}{v_п + 11} = 0,5\]
- Приведем дроби к общему знаменателю \(v_п (v_п + 11)\): \[\frac{5(v_п + 11) - 8v_п}{v_п (v_п + 11)} = 0,5\] \[\frac{5v_п + 55 - 8v_п}{v_п^2 + 11v_п} = 0,5\] \[\frac{55 - 3v_п}{v_п^2 + 11v_п} = 0,5\]
- Умножим обе части на \(v_п^2 + 11v_п\): \[55 - 3v_п = 0,5 (v_п^2 + 11v_п)\] \[55 - 3v_п = 0,5v_п^2 + 5,5v_п\]
- Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[0,5v_п^2 + 5,5v_п + 3v_п - 55 = 0\] \[0,5v_п^2 + 8,5v_п - 55 = 0\]
- Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[v_п^2 + 17v_п - 110 = 0\]
7. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[v_п = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110)}}{2 \cdot 1}\] \[v_п = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 440}}{2}\] \[v_п = \frac{-17 \pm \sqrt{729}}{2}\] \[v_п = \frac{-17 \pm 27}{2}\]8. Находим два возможных значения для \(v_п\):
\[v_{п1} = \frac{-17 + 27}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[v_{п2} = \frac{-17 - 27}{2} = \frac{-44}{2} = -22\]9. Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость пешехода \(v_п = 5\) км/ч.
Проверка:
- Скорость пешехода \(v_п = 5\) км/ч.
- Скорость велосипедиста \(v_в = 5 + 11 = 16\) км/ч.
- Время пешехода до встречи: \(t_п = \frac{5}{5} = 1\) час.
- Время движения велосипедиста: \(t_{в\_движ} = \frac{8}{16} = 0,5\) часа.
- Общее время велосипедиста в пути (с остановкой): \(t_в = 0,5 + 0,5 = 1\) час.
- Время пешехода равно времени велосипедиста, что соответствует условию.
Ответ: Скорость пешехода 5 км/ч.