Решение срезовой работы по математике за I семестр, вариант 1

Срезовая работа по математике за I семестр. Вариант 1. Решение задач: 1. Упростите выражение \((2a^{0,3})^3 + 3a^{0,9}\) При возведении произведения в степень возводим каждый множитель: \[ (2a^{0,3})^3 + 3a^{0,9} = 2^3 \cdot a^{0,3 \cdot 3} + 3a^{0,9} = 8a^{0,9} + 3a^{0,9} = 11a^{0,9} \] Ответ: 1) \(11a^{0,9}\) 2. Найдите значение выражения \(\log_2 36 - \log_2 144\) Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_2 36 - \log_2 144 = \log_2 \left( \frac{36}{144} \right) = \log_2 \left( \frac{1}{4} \right) = \log_2 (2^{-2}) = -2 \] Ответ: 3) -2 3. Вычислите \(\log_8 8^2\) По свойству логарифма \(\log_a a^n = n\): \[ \log_8 8^2 = 2 \] Ответ: 3) 2 4. Найдите значение выражения \(7^{\log_7 \sqrt{3}}\) По основному логарифмическому тождеству \(a^{\log_a b} = b\): \[ 7^{\log_7 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \] Ответ: 1) \(\sqrt{3}\) 5. Найдите значение выражения \(a^{1,5} : a^{-0,5}\) при \(a = \sqrt{6}\) При делении степеней показатели вычитаются: \[ a^{1,5 - (-0,5)} = a^{1,5 + 0,5} = a^2 \] Подставляем \(a = \sqrt{6}\): \[ (\sqrt{6})^2 = 6 \] Ответ: 4) 6 6. Найдите значение числового выражения \(\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7}\) По основному логарифмическому тождеству: \[ \left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7} = 7 \] Ответ: 2) 7 7. Вычислите \(49^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{3}}\) Степень \(\frac{1}{n}\) — это корень n-ой степени: \[ \sqrt{49} + \sqrt[3]{27} = 7 + 3 = 10 \] Ответ: 2) 10 8. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур... Ответ: 3) в пространстве 9. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ..., и притом только одну. Ответ: 1) плоскость 10. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются... Ответ: 1) скрещивающимися 11. Две прямые, параллельные третьей прямой, ... Ответ: 2) параллельны 12. Задача. Дано: \(MO \perp \alpha\), \(MA\) и \(MB\) — наклонные, \(MO = 16\) см, \(\angle AMO = 60^\circ\), \(\angle BMO = 45^\circ\). Найти: проекции \(AO\) и \(BO\). Решение: В прямоугольном треугольнике \(AMO\) (\(\angle MOA = 90^\circ\)): \[ AO = MO \cdot \text{tg}(\angle AMO) = 16 \cdot \text{tg}(60^\circ) = 16\sqrt{3} \text{ см} \] В прямоугольном треугольнике \(BMO\) (\(\angle MOB = 90^\circ\)): \[ BO = MO \cdot \text{tg}(\angle BMO) = 16 \cdot \text{tg}(45^\circ) = 16 \cdot 1 = 16 \text{ см} \] Ответ: \(AO = 16\sqrt{3}\) см, \(BO = 16\) см.