Задача:
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Решение:
1. Обозначим неизвестные и известные величины:
- Пусть \(S\) — полное расстояние от А до В.
- Пусть \(v_1\) — скорость первого автомобилиста (то, что нам нужно найти).
- Время, за которое первый автомобилист проехал весь путь: \(t_1 = \frac{S}{v_1}\).
2. Рассмотрим движение второго автомобилиста:
- Второй автомобилист проехал первую половину пути (\(\frac{S}{2}\)) со скоростью \(v_2 = v_1 - 11\) км/ч.
- Время, за которое второй автомобилист проехал первую половину пути: \(t_{2\_1} = \frac{S/2}{v_1 - 11} = \frac{S}{2(v_1 - 11)}\).
- Второй автомобилист проехал вторую половину пути (\(\frac{S}{2}\)) со скоростью 66 км/ч.
- Время, за которое второй автомобилист проехал вторую половину пути: \(t_{2\_2} = \frac{S/2}{66} = \frac{S}{132}\).
- Общее время, за которое второй автомобилист проехал весь путь: \(t_2 = t_{2\_1} + t_{2\_2} = \frac{S}{2(v_1 - 11)} + \frac{S}{132}\).
3. По условию задачи, оба автомобилиста прибыли в В одновременно, значит, их время в пути одинаково:
\[t_1 = t_2\] \[\frac{S}{v_1} = \frac{S}{2(v_1 - 11)} + \frac{S}{132}\]4. Так как \(S \neq 0\), мы можем разделить обе части уравнения на \(S\):
\[\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132}\]5. Решим это уравнение относительно \(v_1\):
- Перенесем члены с \(v_1\) в левую часть: \[\frac{1}{v_1} - \frac{1}{2(v_1 - 11)} = \frac{1}{132}\]
- Приведем дроби в левой части к общему знаменателю \(2v_1(v_1 - 11)\): \[\frac{2(v_1 - 11) - v_1}{2v_1(v_1 - 11)} = \frac{1}{132}\] \[\frac{2v_1 - 22 - v_1}{2v_1^2 - 22v_1} = \frac{1}{132}\] \[\frac{v_1 - 22}{2v_1^2 - 22v_1} = \frac{1}{132}\]
- Перемножим крест-накрест: \[132(v_1 - 22) = 1 \cdot (2v_1^2 - 22v_1)\] \[132v_1 - 132 \cdot 22 = 2v_1^2 - 22v_1\] \[132v_1 - 2904 = 2v_1^2 - 22v_1\]
- Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[2v_1^2 - 22v_1 - 132v_1 + 2904 = 0\] \[2v_1^2 - 154v_1 + 2904 = 0\]
- Разделим все уравнение на 2 для упрощения: \[v_1^2 - 77v_1 + 1452 = 0\]
6. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[v_1 = \frac{-(-77) \pm \sqrt{(-77)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1452}}{2 \cdot 1}\] \[v_1 = \frac{77 \pm \sqrt{5929 - 5808}}{2}\] \[v_1 = \frac{77 \pm \sqrt{121}}{2}\] \[v_1 = \frac{77 \pm 11}{2}\]7. Находим два возможных значения для \(v_1\):
\[v_{1\_1} = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44\] \[v_{1\_2} = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33\]8. По условию задачи, скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч. Из двух найденных значений только 44 км/ч удовлетворяет этому условию.
- Если \(v_1 = 33\) км/ч, то скорость второй части пути второго автомобилиста \(v_1 - 11 = 33 - 11 = 22\) км/ч. Это меньше 66 км/ч, что возможно. Но 33 км/ч не больше 40 км/ч.
- Если \(v_1 = 44\) км/ч, то скорость второй части пути второго автомобилиста \(v_1 - 11 = 44 - 11 = 33\) км/ч. Это меньше 66 км/ч, что возможно. И 44 км/ч больше 40 км/ч.
Проверка:
Пусть \(v_1 = 44\) км/ч.
- Скорость первого автомобилиста: 44 км/ч.
- Скорость второго автомобилиста на первой половине пути: \(44 - 11 = 33\) км/ч.
- Скорость второго автомобилиста на второй половине пути: 66 км/ч.
Предположим, расстояние \(S = 2 \cdot 132 = 264\) км (для удобства расчетов, чтобы избежать дробей, но можно взять любое \(S\)).
- Время первого автомобилиста: \(t_1 = \frac{264}{44} = 6\) часов.
- Время второго автомобилиста:
- Первая половина пути (\(132\) км) со скоростью 33 км/ч: \(t_{2\_1} = \frac{132}{33} = 4\) часа.
- Вторая половина пути (\(132\) км) со скоростью 66 км/ч: \(t_{2\_2} = \frac{132}{66} = 2\) часа.
- Общее время второго автомобилиста: \(t_2 = 4 + 2 = 6\) часов.
Время совпадает, \(t_1 = t_2 = 6\) часов. Условие "скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч" (44 > 40) также выполняется.
Ответ: Скорость первого автомобилиста 44 км/ч.