Задача №23: Найти сторону CD трапеции

Задача №23. Дано: \( ABCD \) — трапеция (\( BC \parallel AD \)). \( \angle BCD = 135^\circ \). \( \angle ABC = 120^\circ \). \( AB = 16\sqrt{6} \). Найти: \( CD \). Решение: 1. Проведем две высоты трапеции: \( BH \) из вершины \( B \) к основанию \( AD \) и \( CK \) из вершины \( C \) к основанию \( AD \). Обозначим высоту трапеции как \( h \). Тогда \( BH = CK = h \). 2. Рассмотрим углы при боковых сторонах. Так как \( BC \parallel AD \), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^\circ \). Найдем угол \( A \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Найдем угол \( D \): \[ \angle D = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] 3. Из прямоугольного треугольника \( ABH \) (\( \angle H = 90^\circ \)) найдем высоту \( h \): \[ h = AB \cdot \sin A \] \[ h = 16\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ = 16\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ h = 8 \cdot \sqrt{18} = 8 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 8 \cdot 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \] 4. Из прямоугольного треугольника \( CDK \) (\( \angle K = 90^\circ \)) найдем боковую сторону \( CD \): \[ CD = \frac{h}{\sin D} \] \[ CD = \frac{24\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{24\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ CD = 24\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 24 \cdot 2 = 48 \] Ответ: 48.