Решение задачи №25: Медиана и биссектриса в треугольнике

Задача №25. Дано: В треугольнике \( ABC \): \( AM = CM \) (следовательно, \( BM \) — медиана). \( \angle CAF = \angle BAF \) (следовательно, \( AF \) — биссектриса). \( AB : AC = 1 : 4 \). \( T \) — точка пересечения \( BM \) и \( AF \). Найти: \( S_{TFCM} : S_{ATB} \). Решение: 1. Пусть \( AB = x \). Тогда по условию \( AC = 4x \). Так как \( M \) — середина \( AC \), то \( AM = MC = 2x \). 2. Рассмотрим треугольник \( ABM \). В нем \( AT \) является биссектрисой (так как \( AF \) — биссектриса угла \( A \)). По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{BT}{TM} = \frac{AB}{AM} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \] То есть \( TM = 2 \cdot BT \). 3. Рассмотрим треугольник \( ABC \). В нем \( AF \) — биссектриса. По свойству биссектрисы: \[ \frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \] 4. Обозначим площадь всего треугольника \( ABC \) как \( S \). Так как \( BM \) — медиана, она делит треугольник на две равновеликие части: \[ S_{ABM} = S_{BCM} = \frac{1}{2}S \] 5. В треугольнике \( ABM \) отрезок \( AT \) делит площадь пропорционально отрезкам на стороне \( BM \): \[ S_{ATB} = \frac{BT}{BM} \cdot S_{ABM} = \frac{1}{1+2} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{1}{6}S \] 6. Найдем площадь треугольника \( TFC \). Это удобнее сделать через вычитание площадей. Сначала найдем \( S_{AFC} \). Так как \( \frac{BF}{FC} = \frac{1}{4} \), то \( FC = \frac{4}{5}BC \). \[ S_{AFC} = \frac{4}{5}S \] В треугольнике \( AFC \) точка \( T \) лежит на \( AF \). По теореме Менелая для треугольника \( BCM \) и прямой \( AFT \): \[ \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MT}{TB} = 1 \implies \frac{1}{4} \cdot \frac{4x}{2x} \cdot \frac{MT}{TB} = 1 \implies \frac{1}{2} \cdot \frac{MT}{TB} = 1 \implies \frac{MT}{TB} = 2 \] (Это подтверждает наш расчет из пункта 2). Теперь найдем отношение \( \frac{AT}{TF} \) из теоремы Менелая для треугольника \( ABF \) и прямой \( MTC \): \[ \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FT}{TA} \cdot \frac{AM}{MB} = \text{неудобно, используем теорему о Ван-Обеля} \] По теореме Ван-Обеля для точки \( T \): \[ \frac{AT}{TF} = \frac{AM}{MC} + \frac{AB}{BF} = \frac{2x}{2x} + \frac{x}{\frac{1}{5}BC} \] — это сложно. Проще: \( S_{TFCM} = S_{BCM} - S_{BFT} \). \( S_{BFT} \): в треугольнике \( BCF \) площадь \( S_{BCF} = \frac{1}{5}S \). Отрезок \( FT \) составляет часть \( AF \). Из теоремы Менелая для \( \triangle BCM \): \( \frac{AT}{TF} = \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BF} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5 \). Значит \( TF = \frac{1}{6}AF \). Площадь \( S_{TFC} = S_{AFC} - S_{AMC} - \dots \) — пойдем путем \( S_{TFCM} = S_{AMC} + S_{AMT} \) нет. Самый простой путь: \( S_{ATB} = \frac{1}{6}S \). \( S_{TFCM} = S_{ABC} - S_{ATB} - S_{ABF} - S_{AMC} \) — нет, они перекрываются. \( S_{TFCM} = S_{BCM} - S_{BFT} \). \( S_{BCM} = \frac{1}{2}S \). \( S_{BFT} = \frac{BT}{BM} \cdot S_{BFM} \). \( S_{BFM} = \frac{BF}{BC} \cdot S_{BCM} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{1}{10}S \). \( S_{BFT} = \frac{1}{3} \cdot S_{BFM} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10}S = \frac{1}{30}S \). \( S_{TFCM} = \frac{1}{2}S - \frac{1}{30}S = \frac{15-1}{30}S = \frac{14}{30}S = \frac{7}{15}S \). 7. Находим отношение: \[ \frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}} = \frac{\frac{7}{15}S}{\frac{1}{6}S} = \frac{7}{15} \cdot \frac{6}{1} = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5} = 2.8 \] В формате отношения это \( 14:5 \). Ответ: 14:5