Решение задачи: Угол в окружности (ABCD)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен \(51^\circ\), угол CAD равен \(42^\circ\). Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же дугу CD. 3. Значит, угол CBD равен углу CAD. 4. Угол CAD равен \(42^\circ\), следовательно, угол CBD равен \(42^\circ\). 5. Угол ABC состоит из суммы углов ABD и CBD. 6. Угол ABC = угол ABD + угол CBD. 7. Угол ABC = \(51^\circ + 42^\circ = 93^\circ\). Ответ: \(93\). Задача 2. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что \(\angle NBA = 68^\circ\). Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. 2. Угол ANB опирается на диаметр AB, значит, угол ANB равен \(90^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник ANB. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). 4. Угол NAB = \(180^\circ - \angle ANB - \angle NBA\). 5. Угол NAB = \(180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ\). 6. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 7. Угол NMB и угол NAB опираются на одну и ту же дугу NB. 8. Значит, угол NMB равен углу NAB. 9. Угол NMB = \(22^\circ\). Ответ: \(22\). Задача 3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC=12. Решение: 1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. 2. Значит, сторона AB является диаметром окружности. 3. Радиус окружности равен 6,5. 4. Диаметр AB = \(2 \cdot \text{радиус} = 2 \cdot 6,5 = 13\). 5. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. 6. Угол ACB опирается на диаметр AB, значит, угол ACB равен \(90^\circ\). 7. Треугольник ABC является прямоугольным с гипотенузой AB. 8. По теореме Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). 9. Подставим известные значения: \(AC^2 + 12^2 = 13^2\). 10. \(AC^2 + 144 = 169\). 11. \(AC^2 = 169 - 144\). 12. \(AC^2 = 25\). 13. \(AC = \sqrt{25}\). 14. \(AC = 5\). Ответ: \(5\). Задача 4. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD - диаметры. Угол AOD равен \(114^\circ\). Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы AOD и BOC являются вертикальными. 2. Вертикальные углы равны. 3. Значит, угол BOC = угол AOD = \(114^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник BOC. Стороны OB и OC являются радиусами окружности. 5. Значит, треугольник BOC является равнобедренным с основанием BC. 6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 7. Угол OBC = угол OCB. 8. Сумма углов в треугольнике BOC равна \(180^\circ\). 9. Угол OBC + угол OCB + угол BOC = \(180^\circ\). 10. \(2 \cdot \text{угол OCB} + 114^\circ = 180^\circ\). 11. \(2 \cdot \text{угол OCB} = 180^\circ - 114^\circ\). 12. \(2 \cdot \text{угол OCB} = 66^\circ\). 13. Угол OCB = \(66^\circ / 2 = 33^\circ\). 14. Угол ACB - это тот же угол OCB. 15. Значит, угол ACB = \(33^\circ\). Ответ: \(33\). Задача 5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен \(70^\circ\), угол CAD равен \(49^\circ\). Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же дугу CD. 3. Значит, угол CBD равен углу CAD. 4. Угол CAD равен \(49^\circ\), следовательно, угол CBD равен \(49^\circ\). 5. Угол ABC состоит из суммы углов ABD и CBD. 6. Угол ABC = угол ABD + угол CBD. 7. Мы знаем угол ABC (\(70^\circ\)) и угол CBD (\(49^\circ\)). 8. \(70^\circ = \text{угол ABD} + 49^\circ\). 9. Угол ABD = \(70^\circ - 49^\circ\). 10. Угол ABD = \(21^\circ\). Ответ: \(21\). Задача 6. Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен \(54^\circ\). Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Рассмотрим треугольник BOC. Стороны OB и OC являются радиусами окружности. 2. Значит, треугольник BOC является равнобедренным с основанием BC. 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 4. Угол OCB = угол OBC. 5. Угол ACB - это тот же угол OCB, значит, угол OCB = \(54^\circ\). 6. Следовательно, угол OBC = \(54^\circ\). 7. Сумма углов в треугольнике BOC равна \(180^\circ\). 8. Угол BOC = \(180^\circ - \text{угол OCB} - \text{угол OBC}\). 9. Угол BOC = \(180^\circ - 54^\circ - 54^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\). 10. Углы AOD и BOC являются вертикальными. 11. Вертикальные углы равны. 12. Значит, угол AOD = угол BOC = \(72^\circ\). Ответ: \(72\). Задача 7. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Найти ED, если AE=3, BE=4, CE=2. Решение: 1. При пересечении двух хорд в окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. 2. То есть, \(AE \cdot BE = CE \cdot ED\). 3. Подставим известные значения: \(3 \cdot 4 = 2 \cdot ED\). 4. \(12 = 2 \cdot ED\). 5. \(ED = \frac{12}{2}\). 6. \(ED = 6\). Ответ: \(6\).