Решение задачи про автомобилистов: определение скорости

Решение задачи: Условие задачи: Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч. Пусть \(S\) - это расстояние от А до В. Пусть \(v_1\) - скорость первого автомобилиста. Тогда время, за которое первый автомобилист проехал весь путь, равно: \[t_1 = \frac{S}{v_1}\] Второй автомобилист проехал первую половину пути (\(\frac{S}{2}\)) со скоростью \(v_1 - 11\) км/ч. Время, затраченное на первую половину пути: \[t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} = \frac{S}{2(v_1 - 11)}\] Вторую половину пути (\(\frac{S}{2}\)) второй автомобилист проехал со скоростью 66 км/ч. Время, затраченное на вторую половину пути: \[t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{66} = \frac{S}{132}\] Общее время, за которое второй автомобилист проехал весь путь, равно: \[t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{2(v_1 - 11)} + \frac{S}{132}\] По условию задачи, оба автомобилиста прибыли в В одновременно, то есть \(t_1 = t_2\). \[\frac{S}{v_1} = \frac{S}{2(v_1 - 11)} + \frac{S}{132}\] Так как \(S \neq 0\), мы можем разделить обе части уравнения на \(S\): \[\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132}\] Теперь решим это уравнение относительно \(v_1\). Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(132 \cdot v_1 \cdot 2(v_1 - 11)\). \[\frac{1}{v_1} = \frac{66(v_1 - 11) + v_1(v_1 - 11)}{132v_1(v_1 - 11)}\] Это не самый удобный способ. Давайте сначала перенесем одну дробь: \[\frac{1}{v_1} - \frac{1}{2(v_1 - 11)} = \frac{1}{132}\] \[\frac{2(v_1 - 11) - v_1}{v_1 \cdot 2(v_1 - 11)} = \frac{1}{132}\] \[\frac{2v_1 - 22 - v_1}{2v_1(v_1 - 11)} = \frac{1}{132}\] \[\frac{v_1 - 22}{2v_1^2 - 22v_1} = \frac{1}{132}\] Теперь перемножим крест-на-крест: \[132(v_1 - 22) = 1 \cdot (2v_1^2 - 22v_1)\] \[132v_1 - 132 \cdot 22 = 2v_1^2 - 22v_1\] \[132v_1 - 2904 = 2v_1^2 - 22v_1\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[2v_1^2 - 22v_1 - 132v_1 + 2904 = 0\] \[2v_1^2 - 154v_1 + 2904 = 0\] Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[v_1^2 - 77v_1 + 1452 = 0\] Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): Здесь \(a = 1\), \(b = -77\), \(c = 1452\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-77)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1452\) \[D = 5929 - 5808\] \[D = 121\] \[\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11\] Теперь найдем корни \(v_1\): \[v_{1,1} = \frac{-(-77) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44\] \[v_{1,2} = \frac{-(-77) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33\] У нас есть два возможных значения для скорости первого автомобилиста: 44 км/ч и 33 км/ч. По условию задачи, скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч. Значение \(v_{1,1} = 44\) км/ч удовлетворяет этому условию (\(44 > 40\)). Значение \(v_{1,2} = 33\) км/ч не удовлетворяет этому условию (\(33 \ngtr 40\)). Также необходимо убедиться, что скорость второго автомобилиста на первом участке пути положительна: \(v_1 - 11 > 0\). Для \(v_1 = 44\): \(44 - 11 = 33 > 0\). Это подходит. Для \(v_1 = 33\): \(33 - 11 = 22 > 0\). Это тоже подходит, но это значение отбрасывается из-за условия \(v_1 > 40\). Таким образом, скорость первого автомобилиста равна 44 км/ч. Ответ: 44