Вычисление предела функции при x → ∞: lim (3x^2 + 4x - 3) / (5 - 2x^2)

Задание: Вычислить предел функции при \(x\), стремящемся к бесконечности. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x - 3}{5 - 2x^2} \] Решение: Для нахождения предела при \(x \to \infty\) рациональной дроби, необходимо разделить числитель и знаменатель на \(x\) в старшей степени. В данном случае старшая степень — это \(x^2\). Разделим каждое слагаемое на \(x^2\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2}} \] Упростим полученное выражение: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x^2} - 2} \] При \(x \to \infty\) величины \(\frac{4}{x}\), \(\frac{3}{x^2}\) и \(\frac{5}{x^2}\) стремятся к нулю. Воспользуемся свойствами пределов: \[ \frac{3 + 0 - 0}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -1,5 \] Ответ: -1,5.