Решение задачи про мотоциклиста и велосипедиста

Решение задачи: Условие задачи: Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист? Пусть \(S\) - расстояние между городами А и В. Пусть \(v_м\) - скорость мотоциклиста. Пусть \(v_в\) - скорость велосипедиста. Время, за которое мотоциклист проехал весь путь из А в В: \[t_м = \frac{S}{v_м}\] Время, за которое велосипедист проехал весь путь из В в А: \[t_в = \frac{S}{v_в}\] По условию, мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А. Переведем 40 минут в часы: \(40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}\). Значит: \[t_м = t_в - \frac{2}{3}\] \[\frac{S}{v_м} = \frac{S}{v_в} - \frac{2}{3}\] Они встретились через 15 минут после выезда. Переведем 15 минут в часы: \(15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}\). К моменту встречи мотоциклист проехал расстояние \(S_м = v_м \cdot \frac{1}{4}\). К моменту встречи велосипедист проехал расстояние \(S_в = v_в \cdot \frac{1}{4}\). Так как они ехали навстречу друг другу, сумма пройденных ими расстояний равна всему расстоянию между городами: \[S_м + S_в = S\] \[v_м \cdot \frac{1}{4} + v_в \cdot \frac{1}{4} = S\] \[\frac{1}{4}(v_м + v_в) = S\] \[v_м + v_в = 4S\] Теперь выразим скорости через \(S\) и время. Из первого уравнения: \(v_м = \frac{S}{t_м}\) и \(v_в = \frac{S}{t_в}\). Подставим эти выражения в уравнение \(v_м + v_в = 4S\): \[\frac{S}{t_м} + \frac{S}{t_в} = 4S\] Так как \(S \neq 0\), можем разделить обе части на \(S\): \[\frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в} = 4\] Мы знаем, что \(t_м = t_в - \frac{2}{3}\). Подставим это в уравнение: \[\frac{1}{t_в - \frac{2}{3}} + \frac{1}{t_в} = 4\] Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{t_в + (t_в - \frac{2}{3})}{t_в(t_в - \frac{2}{3})} = 4\] \[\frac{2t_в - \frac{2}{3}}{t_в^2 - \frac{2}{3}t_в} = 4\] Умножим обе части на знаменатель: \[2t_в - \frac{2}{3} = 4(t_в^2 - \frac{2}{3}t_в)\] \[2t_в - \frac{2}{3} = 4t_в^2 - \frac{8}{3}t_в\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[4t_в^2 - \frac{8}{3}t_в - 2t_в + \frac{2}{3} = 0\] \[4t_в^2 - (\frac{8}{3} + \frac{6}{3})t_в + \frac{2}{3} = 0\] \[4t_в^2 - \frac{14}{3}t_в + \frac{2}{3} = 0\] Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: \[12t_в^2 - 14t_в + 2 = 0\] Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[6t_в^2 - 7t_в + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): Здесь \(a = 6\), \(b = -7\), \(c = 1\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1\) \[D = 49 - 24\] \[D = 25\] \[\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5\] Теперь найдем корни \(t_в\): \[t_{в,1} = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1\] \[t_{в,2} = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\] У нас есть два возможных значения для времени велосипедиста: 1 час и \(\frac{1}{6}\) часа. Проверим каждое значение. Если \(t_в = \frac{1}{6}\) часа, то \(t_м = t_в - \frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\) часа. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит. Если \(t_в = 1\) час, то \(t_м = t_в - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) часа. Оба времени положительны, что соответствует физическому смыслу. Время встречи было 15 минут, или \(\frac{1}{4}\) часа. \(t_м = \frac{1}{3} \text{ ч} = 20 \text{ мин}\). \(t_в = 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}\). Мотоциклист приехал на 40 минут раньше: \(60 - 20 = 40\) минут. Условие выполняется. Время встречи 15 минут. Это меньше, чем время каждого из них в пути, что логично. Вопрос задачи: "Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?" Это и есть \(t_в\). Ответ: 1