Решение задач по геометрии: касательная и секущая

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача 8. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK. Решение: 1. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. 2. То есть, \(AK^2 = AB \cdot AC\). 3. Подставим известные значения: \(AK^2 = 2 \cdot 8\). 4. \(AK^2 = 16\). 5. \(AK = \sqrt{16}\). 6. \(AK = 4\). Ответ: \(4\). Задача 9. Из точки A вне окружности проведена касательная AB и секущая AD, как показано на картинке. Найдите длину отрезка AC, если CD=5, а длина отрезка касательной равна \(6\sqrt{2}\). Решение: 1. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. 2. В данном случае касательная - это AB, а секущая - это AD. Внешняя часть секущей - это AC. 3. Значит, \(AB^2 = AC \cdot AD\). 4. Мы знаем \(AB = 6\sqrt{2}\) и \(CD = 5\). 5. Отрезок AD состоит из отрезков AC и CD: \(AD = AC + CD\). 6. Подставим \(AD = AC + 5\) в формулу: \((6\sqrt{2})^2 = AC \cdot (AC + 5)\). 7. \((6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72\). 8. Получаем уравнение: \(72 = AC \cdot (AC + 5)\). 9. Пусть \(AC = x\). Тогда \(72 = x(x + 5)\). 10. \(72 = x^2 + 5x\). 11. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 + 5x - 72 = 0\). 12. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). 13. \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313\). 14. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). 15. \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{313}}{2}\). 16. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительное значение. 17. \(AC = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}\). Ответ: \(\frac{-5 + \sqrt{313}}{2}\). Задача 10. Точки M и P лежат соответственно на сторонах BC и AB треугольника ABC, причем MP || AC. Найдите сторону AB, если AC=12см, MP=4см, PB=5см? Решение: 1. Если MP || AC, то треугольник MBP подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, и углы BPM и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MP и AC и секущей AB). 2. Из подобия треугольников следует отношение сторон: \(\frac{MP}{AC} = \frac{PB}{AB}\). 3. Подставим известные значения: \(\frac{4}{12} = \frac{5}{AB}\). 4. Сократим дробь \(\frac{4}{12}\) до \(\frac{1}{3}\). 5. Получаем пропорцию: \(\frac{1}{3} = \frac{5}{AB}\). 6. Решим пропорцию: \(1 \cdot AB = 3 \cdot 5\). 7. \(AB = 15\). Ответ: \(15\).