Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6 + x - x^2 и y = 6 - 2x

Задание 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = 6 + x - x^2 \) и \( y = 6 - 2x \). Решение: 1. Найдем точки пересечения заданных линий. Для этого приравняем правые части уравнений: \[ 6 + x - x^2 = 6 - 2x \] Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[ -x^2 + x + 2x + 6 - 6 = 0 \] \[ -x^2 + 3x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(-x + 3) = 0 \] Отсюда получаем корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 3 \] Это пределы интегрирования. 2. Построение графика (описание для тетради): - Первая функция \( y = -x^2 + x + 6 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -b/(2a) = -1/(-2) = 0,5 \). Значение \( y_v = 6 + 0,5 - 0,25 = 6,25 \). Точки пересечения с осями: \( (0; 6) \), \( (3; 0) \), \( (-2; 0) \). - Вторая функция \( y = 6 - 2x \) — это прямая линия. Проходит через точки \( (0; 6) \) и \( (3; 0) \). - На интервале от \( 0 \) до \( 3 \) парабола находится выше прямой. Фигуру между ними нужно заштриховать. 3. Вычислим площадь фигуры \( S \) с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx \] Упростим выражение под интегралом: \[ S = \int_{0}^{3} (6 + x - x^2 - 6 + 2x) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx \] 4. Находим первообразную и вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница: \[ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 \] Подставим верхний предел: \[ S = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - (0 - 0) \] \[ S = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = 13,5 - 9 = 4,5 \] Ответ: Площадь фигуры равна 4,5 кв. ед.