Задача 8.21.6
Условие:
Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 14 км. Турист прошел путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 2 часа. С какой скоростью турист шел на спуске, если его скорость на подъеме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?
Решение:
Обозначим скорости и время:
- Пусть скорость туриста на спуске будет \(v_{спуск}\) км/ч.
- Тогда скорость туриста на подъеме будет \(v_{подъем} = v_{спуск} - 3\) км/ч.
- Общее время в пути \(t_{общий} = 4\) ч.
- Время, затраченное на спуск \(t_{спуск} = 2\) ч.
- Время, затраченное на подъем \(t_{подъем} = t_{общий} - t_{спуск} = 4\) ч \( - 2\) ч \( = 2\) ч.
- Общая длина пути \(S_{общий} = 14\) км.
1. Найдем расстояние, пройденное на спуске:
\(S_{спуск} = v_{спуск} \cdot t_{спуск} = v_{спуск} \cdot 2\)
2. Найдем расстояние, пройденное на подъеме:
\(S_{подъем} = v_{подъем} \cdot t_{подъем} = (v_{спуск} - 3) \cdot 2\)
3. Сумма расстояний на подъеме и спуске равна общей длине пути:
\(S_{подъем} + S_{спуск} = S_{общий}\)
\((v_{спуск} - 3) \cdot 2 + v_{спуск} \cdot 2 = 14\)
4. Решим уравнение относительно \(v_{спуск}\):
\(2v_{спуск} - 6 + 2v_{спуск} = 14\)
\(4v_{спуск} - 6 = 14\)
\(4v_{спуск} = 14 + 6\)
\(4v_{спуск} = 20\)
\(v_{спуск} = \frac{20}{4}\)
\(v_{спуск} = 5\) км/ч
Проверка:
Скорость на спуске \(v_{спуск} = 5\) км/ч.
Скорость на подъеме \(v_{подъем} = 5 - 3 = 2\) км/ч.
Расстояние на спуске \(S_{спуск} = 5\) км/ч \( \cdot 2\) ч \( = 10\) км.
Расстояние на подъеме \(S_{подъем} = 2\) км/ч \( \cdot 2\) ч \( = 4\) км.
Общий путь \(S_{общий} = 10\) км \( + 4\) км \( = 14\) км. Это соответствует условию задачи.
Ответ:
Турист шел на спуске со скоростью 5 км/ч.