Задача 9.21.7
Условие:
Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 27 км. Турист прошел путь из А в В за 8 часов, из которых спуск занял 3 часа. С какой скоростью турист шел на спуске, если его скорость на подъеме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?
Решение:
Обозначим скорости и время:
- Пусть скорость туриста на спуске будет \(v_{спуск}\) км/ч.
- Тогда скорость туриста на подъеме будет \(v_{подъем} = v_{спуск} - 1\) км/ч.
- Общее время в пути \(t_{общий} = 8\) ч.
- Время, затраченное на спуск \(t_{спуск} = 3\) ч.
- Время, затраченное на подъем \(t_{подъем} = t_{общий} - t_{спуск} = 8\) ч \( - 3\) ч \( = 5\) ч.
- Общая длина пути \(S_{общий} = 27\) км.
1. Найдем расстояние, пройденное на спуске:
\(S_{спуск} = v_{спуск} \cdot t_{спуск} = v_{спуск} \cdot 3\)
2. Найдем расстояние, пройденное на подъеме:
\(S_{подъем} = v_{подъем} \cdot t_{подъем} = (v_{спуск} - 1) \cdot 5\)
3. Сумма расстояний на подъеме и спуске равна общей длине пути:
\(S_{подъем} + S_{спуск} = S_{общий}\)
\((v_{спуск} - 1) \cdot 5 + v_{спуск} \cdot 3 = 27\)
4. Решим уравнение относительно \(v_{спуск}\):
\(5v_{спуск} - 5 + 3v_{спуск} = 27\)
\(8v_{спуск} - 5 = 27\)
\(8v_{спуск} = 27 + 5\)
\(8v_{спуск} = 32\)
\(v_{спуск} = \frac{32}{8}\)
\(v_{спуск} = 4\) км/ч
Проверка:
Скорость на спуске \(v_{спуск} = 4\) км/ч.
Скорость на подъеме \(v_{подъем} = 4 - 1 = 3\) км/ч.
Расстояние на спуске \(S_{спуск} = 4\) км/ч \( \cdot 3\) ч \( = 12\) км.
Расстояние на подъеме \(S_{подъем} = 3\) км/ч \( \cdot 5\) ч \( = 15\) км.
Общий путь \(S_{общий} = 12\) км \( + 15\) км \( = 27\) км. Это соответствует условию задачи.
Ответ:
Турист шел на спуске со скоростью 4 км/ч.