Решение №92. Показательные уравнения

№ 92. Решение показательных уравнений. а) \( 3^{9x + 10} = 3^{6x - 2} \) Так как основания равны, приравниваем показатели: \( 9x + 10 = 6x - 2 \) \( 9x - 6x = -2 - 10 \) \( 3x = -12 \) \( x = -4 \) Ответ: -4. б) \( 7^{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{7} \) Представим правую часть как степень с основанием 7: \( 7^{x^2 - 3x + 1} = 7^{-1} \) \( x^2 - 3x + 1 = -1 \) \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 2 \) Ответ: 1; 2. в) \( 5^{3x + 1} = 25^{x - 1} \) Приведем к основанию 5: \( 5^{3x + 1} = (5^2)^{x - 1} \) \( 5^{3x + 1} = 5^{2x - 2} \) \( 3x + 1 = 2x - 2 \) \( 3x - 2x = -2 - 1 \) \( x = -3 \) Ответ: -3. г) \( 4^{2x} = 16^{2x + 5} \) Приведем к основанию 4: \( 4^{2x} = (4^2)^{2x + 5} \) \( 4^{2x} = 4^{4x + 10} \) \( 2x = 4x + 10 \) \( -2x = 10 \) \( x = -5 \) Ответ: -5. д) \( 3^{2x} = 27^{x + 6} \) Приведем к основанию 3: \( 3^{2x} = (3^3)^{x + 6} \) \( 3^{2x} = 3^{3x + 18} \) \( 2x = 3x + 18 \) \( -x = 18 \) \( x = -18 \) Ответ: -18. е) \( 3^{9x + 1} = 9^{3x - 1} \) Приведем к основанию 3: \( 3^{9x + 1} = (3^2)^{3x - 1} \) \( 3^{9x + 1} = 3^{6x - 2} \) \( 9x + 1 = 6x - 2 \) \( 3x = -3 \) \( x = -1 \) Ответ: -1. ж) \( 4^{-x + 1} = 8^x \) Приведем к основанию 2: \( (2^2)^{-x + 1} = (2^3)^x \) \( 2^{-2x + 2} = 2^{3x} \) \( -2x + 2 = 3x \) \( -5x = -2 \) \( x = 0,4 \) Ответ: 0,4. з) \( 64^{x + 1} = 8^{4\sqrt{x}} \) Приведем к основанию 8: \( (8^2)^{x + 1} = 8^{4\sqrt{x}} \) \( 8^{2x + 2} = 8^{4\sqrt{x}} \) \( 2x + 2 = 4\sqrt{x} \) Разделим на 2: \( x + 1 = 2\sqrt{x} \) Возведем в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( (x + 1)^2 = (2\sqrt{x})^2 \) \( x^2 + 2x + 1 = 4x \) \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) \( (x - 1)^2 = 0 \) \( x = 1 \) Ответ: 1.