Задача 10.21.9
Условие:
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
Решение:
Обозначим скорости бегунов и длину круга:
- Пусть скорость первого бегуна \(v_1\) км/ч.
- Скорость второго бегуна \(v_2\) км/ч.
- По условию, \(v_1 = v_2 - 6\), или \(v_2 = v_1 + 6\).
- Пусть длина круговой трассы \(L\) км.
Рассмотрим события, произошедшие через 1 час после старта:
1. Первый бегун:
За 1 час (60 минут) первый бегун пробежал расстояние \(S_1 = v_1 \cdot 1 = v_1\) км.
Ему оставалось 1 км до окончания первого круга, то есть \(S_1 = L - 1\).
Значит, \(v_1 = L - 1\).
2. Второй бегун:
Второй бегун прошел первый круг 15 минут назад. Это означает, что он пробежал первый круг за \(60 - 15 = 45\) минут.
Переведем 45 минут в часы: \(45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}\).
Расстояние, которое пробежал второй бегун за 45 минут, равно одному кругу \(L\).
Значит, \(L = v_2 \cdot \frac{3}{4}\).
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) \(v_1 = L - 1\)
2) \(L = v_2 \cdot \frac{3}{4}\)
3) \(v_2 = v_1 + 6\)
Подставим (3) в (2):
\(L = (v_1 + 6) \cdot \frac{3}{4}\)
Теперь подставим это выражение для \(L\) в (1):
\(v_1 = (v_1 + 6) \cdot \frac{3}{4} - 1\)
Решим это уравнение относительно \(v_1\):
Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\(4v_1 = 3(v_1 + 6) - 4\)
\(4v_1 = 3v_1 + 18 - 4\)
\(4v_1 = 3v_1 + 14\)
\(4v_1 - 3v_1 = 14\)
\(v_1 = 14\) км/ч
Проверка:
Если \(v_1 = 14\) км/ч, то:
\(v_2 = v_1 + 6 = 14 + 6 = 20\) км/ч.
Длина круга \(L = v_1 + 1 = 14 + 1 = 15\) км.
Проверим \(L\) по второму бегуну: \(L = v_2 \cdot \frac{3}{4} = 20 \cdot \frac{3}{4} = 5 \cdot 3 = 15\) км.
Все условия задачи выполняются.
Ответ:
Скорость первого бегуна составляет 14 км/ч.