Задача 11.21.10
Условие:
Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Решение:
Обозначим скорости:
- Пусть скорость лодки в неподвижной воде будет \(v_л\) км/ч.
- Скорость течения реки \(v_{теч} = 3\) км/ч.
Тогда:
- Скорость лодки по течению реки: \(v_{по теч} = v_л + v_{теч} = v_л + 3\) км/ч.
- Скорость лодки против течения реки: \(v_{против теч} = v_л - v_{теч} = v_л - 3\) км/ч.
Расстояние, которое прошла лодка в одну сторону, равно 36 км.
Время, затраченное на путь по течению: \(t_{по теч} = \frac{36}{v_л + 3}\) ч.
Время, затраченное на путь против течения: \(t_{против теч} = \frac{36}{v_л - 3}\) ч.
Общее время в пути составляет 5 часов:
\(t_{по теч} + t_{против теч} = 5\)
\(\frac{36}{v_л + 3} + \frac{36}{v_л - 3} = 5\)
Решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю \((v_л + 3)(v_л - 3)\):
\(\frac{36(v_л - 3) + 36(v_л + 3)}{(v_л + 3)(v_л - 3)} = 5\)
\(\frac{36v_л - 108 + 36v_л + 108}{v_л^2 - 3^2} = 5\)
\(\frac{72v_л}{v_л^2 - 9} = 5\)
Умножим обе части уравнения на \((v_л^2 - 9)\):
\(72v_л = 5(v_л^2 - 9)\)
\(72v_л = 5v_л^2 - 45\)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(5v_л^2 - 72v_л - 45 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\(a = 5\), \(b = -72\), \(c = -45\)
\(D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45)\)
\(D = 5184 + 900\)
\(D = 6084\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78\)
Найдем корни уравнения:
\(v_л = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(v_{л1} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15\)
\(v_{л2} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6\)
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_л = 15\) км/ч.
Проверка:
Если скорость лодки в неподвижной воде \(v_л = 15\) км/ч, то:
Скорость по течению: \(15 + 3 = 18\) км/ч.
Время по течению: \(t_{по теч} = \frac{36}{18} = 2\) ч.
Скорость против течения: \(15 - 3 = 12\) км/ч.
Время против течения: \(t_{против теч} = \frac{36}{12} = 3\) ч.
Общее время: \(2 + 3 = 5\) ч. Это соответствует условию задачи.
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде составляет 15 км/ч.