Решение примера на вычисление дроби

Решение примеров а) и б) из учебника. а) Вычислите значение выражения: \[ \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} \] Для удобства вычислений перенесем запятые в числителе и знаменателе так, чтобы работать с целыми числами. В числителе всего 5 знаков после запятой (\(2+2+1\)), в знаменателе тоже 5 знаков (\(1+2+1\)). Умножим числитель и знаменатель на \(100000\): \[ \frac{216 \cdot 55 \cdot 45}{270 \cdot 15 \cdot 120} \] Теперь сократим дробь: 1) Сократим \(45\) и \(15\) на \(15\): в числителе останется \(3\), в знаменателе \(1\). 2) Сократим \(216\) и \(120\) на \(24\): в числителе останется \(9\), в знаменателе \(5\). 3) Сократим \(55\) и \(270\) на \(5\): в числителе останется \(11\), в знаменателе \(54\). Получаем: \[ \frac{9 \cdot 11 \cdot 3}{54 \cdot 1 \cdot 5} = \frac{27 \cdot 11}{54 \cdot 5} \] Сократим \(27\) и \(54\) на \(27\): \[ \frac{1 \cdot 11}{2 \cdot 5} = \frac{11}{10} = 1,1 \] Ответ: \(1,1\). б) Вычислите значение выражения: \[ \frac{2\frac{2}{3} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{11}}{3\frac{3}{7} \cdot 5\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{11}} \] Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) \(2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}\) \(3\frac{3}{7} = \frac{24}{7}\) \(5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}\) Запишем выражение: \[ \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}}{\frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11}} \] Заметим, что в числителе и знаменателе есть общие множители, которые можно сократить: 1) Сократим \(\frac{17}{7}\) в числителе и \(\frac{24}{7}\) (знаменатели \(7\) сокращаются). 2) Сократим \(\frac{8}{3}\) в числителе и \(\frac{17}{3}\) (знаменатели \(3\) сокращаются). 3) Сократим \(\frac{1}{11}\) в знаменателе и \(\frac{9}{11}\) в числителе (знаменатели \(11\) сокращаются). Упростим запись, перемножив числители и знаменатели отдельно: Числитель: \(\frac{8 \cdot 17 \cdot 9}{3 \cdot 7 \cdot 11}\) Знаменатель: \(\frac{24 \cdot 17 \cdot 1}{7 \cdot 3 \cdot 11}\) При делении дробей знаменатели \((3 \cdot 7 \cdot 11)\) сокращаются: \[ \frac{8 \cdot 17 \cdot 9}{24 \cdot 17 \cdot 1} \] Сокращаем \(17\) и \(17\): \[ \frac{8 \cdot 9}{24 \cdot 1} \] Сокращаем \(8\) и \(24\) на \(8\): \[ \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 1} = \frac{9}{3} = 3 \] Ответ: \(3\).