Решение задачи: уравнение окружности по двум точкам и прямой

Задание № 2 Дано: Точки \( A(1; 5) \) и \( B(7; -1) \) лежат на окружности. Центр окружности \( O(x_0; y_0) \) лежит на прямой \( y = x - 2 \). Найти: уравнение окружности. Решение: 1. Общее уравнение окружности имеет вид: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] где \( (x_0; y_0) \) — координаты центра, \( R \) — радиус. 2. Так как центр \( O(x_0; y_0) \) лежит на прямой \( y = x - 2 \), то его координаты связаны соотношением: \[ y_0 = x_0 - 2 \] 3. Точки \( A \) и \( B \) лежат на окружности, значит расстояния от центра до этих точек равны (это радиусы): \( OA^2 = OB^2 \). Запишем квадраты расстояний: \[ OA^2 = (1 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2 \] \[ OB^2 = (7 - x_0)^2 + (-1 - y_0)^2 \] 4. Приравняем их и подставим \( y_0 = x_0 - 2 \): \[ (1 - x_0)^2 + (5 - (x_0 - 2))^2 = (7 - x_0)^2 + (-1 - (x_0 - 2))^2 \] \[ (1 - x_0)^2 + (7 - x_0)^2 = (7 - x_0)^2 + (1 - x_0)^2 \] Заметим, что выражения слева и справа идентичны при любых значениях. Это означает, что любая точка на прямой \( y = x - 2 \) равноудалена от точек \( A \) и \( B \). Проверим это, найдя середину отрезка \( AB \) и его серединный перпендикуляр. Середина \( AB \): \( M(\frac{1+7}{2}; \frac{5-1}{2}) = M(4; 2) \). Подставим \( M \) в уравнение прямой: \( 2 = 4 - 2 \). Верно. Значит, прямая \( y = x - 2 \) и есть серединный перпендикуляр к отрезку \( AB \). 5. В условии задачи недостаточно данных для определения единственного радиуса, так как любая точка на данной прямой может быть центром. Однако, в школьных задачах такого типа обычно подразумевается, что отрезок \( AB \) является диаметром, либо пропущено дополнительное условие. Если предположить, что центр \( O \) — это середина \( AB \): \[ x_0 = 4, \quad y_0 = 2 \] Тогда найдем радиус \( R^2 \): \[ R^2 = (1 - 4)^2 + (5 - 2)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \] 6. Запишем уравнение окружности: \[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 18 \] Ответ: \( (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 18 \) (при условии, что центр находится в середине отрезка AB).