Контрольная работа: «Иррациональные уравнения и неравенства». Вариант I. Решение

Контрольная работа: «Иррациональные уравнения и неравенства» Вариант I 1. Решите уравнения: а) \(\sqrt[3]{1-x} = 3\) Возведем обе части уравнения в куб: \(1 - x = 3^3\) \(1 - x = 27\) \(-x = 26\) \(x = -26\) Ответ: \(-26\). б) \(\sqrt[4]{4x-3} = \sqrt[4]{x^2-15}\) Уравнение равносильно системе: \[ \begin{cases} 4x - 3 = x^2 - 15 \\ 4x - 3 \geq 0 \end{cases} \] Решим уравнение: \(x^2 - 4x - 12 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Проверим условие \(4x - 3 \geq 0\): Для \(x = 6\): \(4 \cdot 6 - 3 = 21 \geq 0\) (подходит). Для \(x = -2\): \(4 \cdot (-2) - 3 = -11 < 0\) (не подходит). Ответ: \(6\). в) \(\sqrt{8-4x} = x+1\) Уравнение равносильно системе: \[ \begin{cases} 8 - 4x = (x+1)^2 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases} \] Решим уравнение: \(8 - 4x = x^2 + 2x + 1\) \(x^2 + 6x - 7 = 0\) Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -7\). Проверим условие \(x \geq -1\): \(x = 1 \geq -1\) (подходит). \(x = -7 < -1\) (не подходит). Ответ: \(1\). г) \((x^2 - 6x + 5) \cdot \sqrt{x^2 - 7x} = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что другой имеет смысл: 1) \(\sqrt{x^2 - 7x} = 0 \Rightarrow x(x-7) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 7\). 2) \(x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 1, x_4 = 5\). Проверим область определения (\(x^2 - 7x \geq 0\)): Для \(x = 0\): \(0 \geq 0\) (да). Для \(x = 7\): \(0 \geq 0\) (да). Для \(x = 1\): \(1 - 7 = -6 < 0\) (нет). Для \(x = 5\): \(25 - 35 = -10 < 0\) (нет). Ответ: \(0; 7\). д) \(\sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1\) \(\sqrt{2x+5} = 1 + \sqrt{x+6}\) Возведем в квадрат: \(2x + 5 = 1 + 2\sqrt{x+6} + x + 6\) \(x - 2 = 2\sqrt{x+6}\) Снова в квадрат (при условии \(x \geq 2\)): \(x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6)\) \(x^2 - 4x + 4 = 4x + 24\) \(x^2 - 8x - 20 = 0\) Корни: \(x_1 = 10, x_2 = -2\). Учитывая \(x \geq 2\), подходит только \(10\). Ответ: \(10\). е) \(\sqrt{2x^2 + 5x - 2} + \sqrt{2x^2 + 5x + 6} = 4\) Пусть \(2x^2 + 5x - 2 = t\), тогда \(2x^2 + 5x + 6 = t + 8\). \(\sqrt{t} + \sqrt{t+8} = 4\) \(\sqrt{t+8} = 4 - \sqrt{t}\) \(t + 8 = 16 - 8\sqrt{t} + t\) \(8\sqrt{t} = 8 \Rightarrow \sqrt{t} = 1 \Rightarrow t = 1\). Вернемся к замене: \(2x^2 + 5x - 2 = 1\) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\) \(D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49\) \(x_1 = \frac{-5+7}{4} = 0,5\); \(x_2 = \frac{-5-7}{4} = -3\). Ответ: \(-3; 0,5\). ж) \(\sqrt{4-x} \cdot \sqrt{x+5} = 2\sqrt{2}\) ОДЗ: \(x \in [-5; 4]\). \(\sqrt{(4-x)(x+5)} = \sqrt{8}\) \(-x^2 - x + 20 = 8\) \(x^2 + x - 12 = 0\) Корни: \(x_1 = -4, x_2 = 3\). Оба входят в ОДЗ. Ответ: \(-4; 3\). 2. Решите неравенства: а) \(\sqrt{x+5} < 2\) \[ \begin{cases} x + 5 < 4 \\ x + 5 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -1 \\ x \geq -5 \end{cases} \] Ответ: \([-5; -1)\). б) \(\sqrt[4]{3x^2 + 2x - 5} \leq 0\) Корень четной степени не может быть меньше нуля, значит: \(3x^2 + 2x - 5 = 0\) Корни: \(x_1 = 1, x_2 = -5/3\). Ответ: \(-5/3; 1\). в) \(\sqrt{6-5x} > -5\) Корень всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно при всех \(x\) из ОДЗ: \(6 - 5x \geq 0 \Rightarrow 5x \leq 6 \Rightarrow x \leq 1,2\). Ответ: \((-\infty; 1,2]\). г) \(\sqrt{4x-1} < -1\) Корень не может быть меньше отрицательного числа. Ответ: решений нет.