Решение задачи: Найти диагональ AC ромба ABCD

Ниже представлено полное решение задачи, оформленное для записи в тетрадь, с заполнением всех пропусков из вашего задания. Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle B = 2\angle A\), \(AB = 2\sqrt{3}\). Найти: \(AC\). Решение: Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 2x\). \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) (по свойству ромба — сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\)), составим уравнение: \(x + 2x = 180^\circ\); \(3x = 180^\circ\); \(x = 60^\circ\). Тогда \(\angle A = 60^\circ\), а \(\angle B = 120^\circ\). Рассмотрим \(\triangle ABD\). Он равнобедренный, так как \(AB = AD = 2\sqrt{3}\) см. Так как \(\angle A = 60^\circ\), то \(\triangle ABD\) является равносторонним. Следовательно, \(BD = AB = AD = 2\sqrt{3}\) см. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба, тогда \(OD = \frac{1}{2} BD = \sqrt{3}\). По теореме Пифагора в прямоугольном \(\triangle AOD\) (\(\angle AOD = 90^\circ\)) найдем \(AO\): \[AO^2 = AD^2 - OD^2 = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 = 12 - 3 = 9\] см, тогда \(AO = 3\) см. По свойству ромба диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AC = 2 \cdot AO\), тогда \(AC = 2 \cdot 3 = 6\) см. Ответ: 6 см.