Упрощение выражения с дробями: подробное решение

Решение задачи: Упростим выражение: \[ \left( \frac{2}{x^2 - y^2} - \frac{3}{(x + y)^2} \right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{y} \] 1) Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] Общий знаменатель для дробей в скобках будет \( (x - y)(x + y)^2 \). Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(x + y) - 3(x - y)}{(x - y)(x + y)^2} = \frac{2x + 2y - 3x + 3y}{(x - y)(x + y)^2} = \frac{5y - x}{(x - y)(x + y)^2} \] 2) Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби на множители, вынеся \( x \) за скобки и применив формулу разности квадратов: \[ x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y) \] Перемножим полученные выражения: \[ \frac{5y - x}{(x - y)(x + y)^2} \cdot \frac{x(x - y)(x + y)}{y} \] 3) Сократим дробь на \( (x - y) \) и \( (x + y) \): \[ \frac{(5y - x) \cdot x}{(x + y) \cdot y} = \frac{5xy - x^2}{xy + y^2} \] В задаче требуется найти частное от деления числителя получившейся дроби на \( x \). Числитель равен \( 5xy - x^2 \). Разделим его на \( x \): \[ (5xy - x^2) : x = 5y - x \] Ответ: 5y-x