Решение совокупности неравенств: Задание №4

Задание №4 Решите совокупность неравенств: \[ \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} < 1 \\ 4x \geq 8 \end{gathered} \right. \] Решение: 1. Решим первое неравенство совокупности: \[ \frac{x}{2} < 1 \] Умножим обе части неравенства на 2: \[ x < 2 \] 2. Решим второе неравенство совокупности: \[ 4x \geq 8 \] Разделим обе части неравенства на 4: \[ x \geq 2 \] 3. Объединим полученные решения. Совокупность означает, что нам подходят значения \( x \), удовлетворяющие хотя бы одному из условий: \[ \left[ \begin{gathered} x < 2 \\ x \geq 2 \end{gathered} \right. \] Так как первое неравенство включает все числа меньше 2, а второе — число 2 и все числа больше 2, то объединение этих промежутков покрывает всю числовую прямую. Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \) Задание №5 Решите совокупность неравенств: \[ \left[ \begin{gathered} x + 1 \geq 5 \\ \frac{x}{2} < -5 \end{gathered} \right. \] Решение: 1. Решим первое неравенство: \[ x + 1 \geq 5 \] Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком: \[ x \geq 5 - 1 \] \[ x \geq 4 \] 2. Решим второе неравенство: \[ \frac{x}{2} < -5 \] Умножим обе части на 2: \[ x < -10 \] 3. Запишем решение совокупности как объединение двух промежутков: \[ x < -10 \text{ или } x \geq 4 \] В виде интервалов это записывается так: \[ x \in (-\infty; -10) \cup [4; +\infty) \] Ответ: \( x \in (-\infty; -10) \cup [4; +\infty) \)