Найти гипотенузу AB в прямоугольном треугольнике

Дано: Треугольник \( ABC \), \( \angle C = 90^\circ \). Катет \( AC = 4 \). Тангенс угла \( A \): \( \text{tg } A = \frac{3\sqrt{5}}{2} \). Найти: \( AB \) (гипотенузу). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \] Отсюда выразим катет \( BC \): \[ BC = AC \cdot \text{tg } A \] \[ BC = 4 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} \] \[ BC = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \] 2) Теперь найдем гипотенузу \( AB \), используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения катетов: \[ AB^2 = 4^2 + (6\sqrt{5})^2 \] \[ AB^2 = 16 + 36 \cdot 5 \] \[ AB^2 = 16 + 180 \] \[ AB^2 = 196 \] 3) Извлечем корень, чтобы найти длину стороны \( AB \): \[ AB = \sqrt{196} \] \[ AB = 14 \] Ответ: 14.