Решение задач из тетради по геометрии

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для записи в тетрадь. Задание №1 1. Верно ли, что \(\triangle AOB \sim \triangle COD\)? Ответ: Да. 2. Почему? Ответ: По двум углам. Пояснение: \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные. \(\angle OAB = \angle OCD\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(AC\). Задание №2 (верхнее на втором фото) Дано: Стороны \(\triangle KLM\) относятся как \(5 : 6 : 7\). \(\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1\). \(P_{K_1L_1M_1} = 72\). Решение: Так как треугольники подобны, стороны \(\triangle K_1L_1M_1\) относятся так же, как и стороны \(\triangle KLM\), то есть \(5 : 6 : 7\). Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны равны \(5x\), \(6x\) и \(7x\). Составим уравнение по периметру: \[5x + 6x + 7x = 72\] \[18x = 72\] \[x = 4\] Найдем стороны: \[5 \cdot 4 = 20\] \[6 \cdot 4 = 24\] \[7 \cdot 4 = 28\] Ответ: 20; 24; 28. Задание №3 Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Найти: \(x\) и \(y\). Решение: Так как треугольники подобны, их сходственные стороны пропорциональны: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\] Подставим известные значения: \[\frac{20}{16} = \frac{x}{13} = \frac{y}{14}\] Сначала найдем \(x\): \[\frac{20}{16} = \frac{x}{13} \Rightarrow x = \frac{20 \cdot 13}{16} = \frac{5 \cdot 13}{4} = \frac{65}{4} = 16,25\] Теперь найдем \(y\): \[\frac{20}{16} = \frac{y}{14} \Rightarrow y = \frac{20 \cdot 14}{16} = \frac{5 \cdot 14}{4} = \frac{5 \cdot 7}{2} = \frac{35}{2} = 17,5\] Ответ: \(x = 16,25\); \(y = 17,5\). Задание №4 Дано: \(MNPQ\) — трапеция, \(NP \parallel MQ\). \(NP = 3\) см, \(MQ = 12\) см. \(\triangle MNP \sim \triangle QPM\). Найти: \(MP\). Решение: В подобных треугольниках стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны. В данной трапеции \(\angle NPM = \angle PMQ\) (накрест лежащие). Значит, стороны \(NP\) и \(MP\) в первом треугольнике соответствуют сторонам \(MP\) и \(MQ\) во втором. \[\frac{NP}{MP} = \frac{MP}{MQ}\] \[MP^2 = NP \cdot MQ\] \[MP^2 = 3 \cdot 12 = 36\] \[MP = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\] Ответ: \(MP = 6\) см. Задание №5 Дано: \(ABCD\) — прямоугольник. \(AB = 5\), \(AD = 8\), \(DF = 2\). Найти: \(x\) (отрезок \(CE\)). Решение: Рассмотрим \(\triangle ABF\) и \(\triangle EDF\). Они подобны по двум углам (\(\angle F\) — общий, \(\angle A = \angle EDF = 90^\circ\)). Основание \(AF = AD + DF = 8 + 2 = 10\). Из подобия: \[\frac{ED}{AB} = \frac{DF}{AF}\] \[\frac{ED}{5} = \frac{2}{10}\] \[ED = \frac{5 \cdot 2}{10} = 1\] Так как \(CD = AB = 5\), то: \[x = CE = CD - ED = 5 - 1 = 4\] Ответ: \(x = 4\).