Решение задач №7 и №8: Четырехугольник SECD

Ниже представлены решения задач №7 и №8, оформленные для записи в тетрадь. Задание №7 Дано: Четырёхугольник \(SECD\). \(\frac{SK}{EK} = \frac{SN}{DN} = \frac{CL}{EL} = \frac{CM}{DM} = \frac{1}{2}\). \(SC = 9\), \(ED = 12\). Найти: \(P_{KLMN}\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ESC\). Точки \(K\) и \(L\) делят стороны \(ES\) и \(EC\) в отношении \(1:2\) от вершин \(S\) и \(C\). Это значит, что \(\frac{EK}{ES} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{EL}{EC} = \frac{2}{3}\). Следовательно, \(\triangle EKL \sim \triangle ESC\) по второму признаку (общий угол \(E\) и пропорциональные стороны). Тогда \(KL = \frac{2}{3} SC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\). 2. Аналогично из \(\triangle DSC\) следует, что \(\triangle DNM \sim \triangle DSC\). \(NM = \frac{2}{3} SC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\). 3. Рассмотрим \(\triangle SED\). Точки \(K\) и \(N\) делят стороны так, что \(\frac{SK}{SE} = \frac{1}{3}\) и \(\frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}\). Значит, \(\triangle SKN \sim \triangle SED\). Тогда \(KN = \frac{1}{3} ED = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\). 4. Аналогично из \(\triangle CED\) следует, что \(\triangle CLM \sim \triangle CED\). \(LM = \frac{1}{3} ED = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\). 5. Периметр \(KLMN\): \[P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK = 6 + 4 + 6 + 4 = 20\] Ответ: 20. Задание №8 Дано: \(AC = 10\), \(BC = 9\), \(CD = 8,1\), \(BD = 13,5\). \(\angle ACB = \angle BCD\). Найти: \(P_{\triangle ABC}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BDC\). У них есть равные углы: \(\angle ACB = \angle BCD\). Проверим отношение сторон, прилежащих к этим углам: \[\frac{BC}{CD} = \frac{9}{8,1} = \frac{90}{81} = \frac{10}{9}\] \[\frac{AC}{BC} = \frac{10}{9}\] Так как \(\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{CD}\) и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle BDC\) по второму признаку подобия. 2. Коэффициент подобия \(k = \frac{10}{9}\). Найдем сторону \(AB\), используя сходственную сторону \(BD\): \[\frac{AB}{BD} = k \Rightarrow \frac{AB}{13,5} = \frac{10}{9}\] \[AB = \frac{13,5 \cdot 10}{9} = \frac{135}{9} = 15\] 3. Найдем периметр \(\triangle ABC\): \[P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 15 + 9 + 10 = 34\] Ответ: 34.