Решение задач из контрольной работы №2

Ниже представлены решения задач из файла «Подготовка к контрольной работе №2», оформленные для записи в тетрадь. Задание №1 Решение: Рассмотрим треугольники \(OPQ\) и \(TSQ\). У них общий угол \(Q\). Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу: \[\frac{OQ}{TQ} = \frac{OT + TQ}{TQ} = \frac{2 + 3}{3} = \frac{5}{3}\] \[\frac{PQ}{SQ} = \frac{PS + SQ}{SQ} = \frac{4 + 6}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\] Так как \(\frac{OQ}{TQ} = \frac{PQ}{SQ}\) и \(\angle Q\) — общий, треугольники подобны по второму признаку. Ответ: б) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Задание №2 Решение: 1. Так как \(MN \parallel DF\), то \(\angle EMN = \angle EDF\) и \(\angle ENM = \angle EFD\) как соответствующие при параллельных прямых. Следовательно, \(\triangle EMN \sim \triangle EDF\) по двум углам. 2. Найдем сторону \(EF\): \(EF = EN + NF = 4 + 1 = 5\) см. 3. Коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{EN}{EF} = \frac{4}{5} = 0,8\] Ответ: \(\triangle EMN \sim \triangle EDF\), \(k = 0,8\). Задание №3 Решение: Дано \(\triangle MNL \sim \triangle XYZ\). Из подобия следует пропорциональность сторон: \[\frac{MN}{XY} = \frac{ML}{XZ}\] Подставим значения: \[\frac{MN}{4} = \frac{3}{2}\] \[MN = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\] Ответ: \(MN = 6\). Задание №4 Решение: Дано \(\triangle ABC \sim \triangle CDE\). Найдем коэффициент подобия \(k\) через сходственные стороны \(AB\) и \(CD\): \[k = \frac{CD}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\] Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\] \[S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \text{ см}^2\] Ответ: 9 \(см^2\). Задание №5 (по рисункам со второго фото) а) Треугольники \(ABD\) и \(BCD\). Проверим отношения сторон: \[\frac{AB}{BC} = \frac{20}{10} = 2; \quad \frac{AD}{BD} = \frac{36}{18} = 2; \quad \frac{BD}{CD} = \frac{18}{9} = 2\] Так как \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{CD} = 2\), треугольники подобны по трем пропорциональным сторонам (3-й признак). б) Треугольники \(XYR\) и \(LGR\). Дано \(XY \parallel LG\). Следовательно, \(\angle YXR = \angle RLG\) и \(\angle XYR = \angle RGL\) как накрест лежащие. Треугольники подобны по двум углам (1-й признак). Коэффициент подобия: \(k = \frac{XR}{RG} = \frac{10}{5} = 2\). в) Треугольники \(ABD\) и \(ABC\) (нижний рисунок). У треугольников общий угол \(B\). Проверим стороны: В \(\triangle ABC\): \(AB = 12\), \(BC = 12\), \(AC = 7 + 9 = 16\). В \(\triangle BDC\): \(BC = 12\), \(DC = 9\), \(BD\) — неизвестно. Проверим \(\triangle BDC\) и \(\triangle ABC\): \(\frac{BC}{AC} = \frac{12}{16} = 0,75\); \(\frac{DC}{BC} = \frac{9}{12} = 0,75\). Углы при вершине \(C\) общие. Треугольники \(BDC\) и \(ABC\) подобны по 2-му признаку.