Решение задачи: анализ термодинамического цикла в V-T координатах

Дано: \(\nu = 1 \text{ моль}\) Процесс \(1-2-3-4-1\) График в осях \(V-T\) Решение: 1. Проанализируем каждый этап цикла: Процесс \(1-2\): Изохорный нагрев (\(V = V_0 = \text{const}\)). Температура растет от \(T_0\) до \(6T_0\). Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона \(pV = \nu RT\), давление \(p\) растет прямо пропорционально температуре. \(p_1 = \frac{\nu RT_0}{V_0}\), \(p_2 = \frac{\nu R \cdot 6T_0}{V_0} = 6p_1\). Процесс \(2-3\): Изотермическое расширение (\(T = 6T_0 = \text{const}\)). Объем увеличивается от \(V_0\) до \(3V_0\). Давление уменьшается: \(p_3 = \frac{\nu R \cdot 6T_0}{3V_0} = 2 \frac{\nu RT_0}{V_0} = 2p_1\). Работа газа в изотермическом процессе: \(A_{23} = \nu RT \ln\left(\frac{V_{конеч}}{V_{нач}}\right) = 6\nu RT_0 \ln(3)\). Процесс \(3-4\): Изохорное охлаждение (\(V = 3V_0 = \text{const}\)). Температура падает от \(6T_0\) до \(3T_0\). \(p_4 = \frac{\nu R \cdot 3T_0}{3V_0} = \frac{\nu RT_0}{V_0} = p_1\). Процесс \(4-1\): Изобарное сжатие (\(p = p_1 = \text{const}\)). На графике \(V-T\) это прямая, проходящая через начало координат (\(V \sim T\)). Объем уменьшается от \(3V_0\) до \(V_0\), температура падает от \(3T_0\) до \(T_0\). 2. Сравнение работ: Работа газа в процессе \(2-3\) (изотермическое расширение): \[A_{23} = \nu R (6T_0) \ln\left(\frac{3V_0}{V_0}\right) = 6\nu RT_0 \ln(3)\] Так как \(\ln(3) \approx 1,1\), то \(A_{23} \approx 6,6 \nu RT_0\). Работа внешних сил в процессе \(4-1\) (изобарное сжатие): Работа внешних сил \(A'_{41}\) равна работе газа \(A_{41}\) с обратным знаком: \(A'_{41} = -A_{41}\). \[A_{41} = p_1 \Delta V = p_1 (V_0 - 3V_0) = -2p_1 V_0\] Учитывая, что \(p_1 V_0 = \nu RT_0\): \[|A'_{41}| = |2\nu RT_0| = 2\nu RT_0\] Сравним модули: \(|A_{23}| \approx 6,6 \nu RT_0\) \(|A'_{41}| = 2 \nu RT_0\) Следовательно, \(|A_{23}| > |A'_{41}|\). Модуль работы газа в процессе \(2-3\) больше модуля работы внешних сил в процессе \(4-1\). 3. Построение графика в координатах \(p-V\): Для построения выберем масштаб: \(p_1 = p_0\), \(V_0\). Точка 1: \((p_0, V_0)\) Точка 2: \((6p_0, V_0)\) — вертикально вверх (изохора). Точка 3: \((2p_0, 3V_0)\) — кривая (изотерма \(T=6T_0\)). Точка 4: \((p_0, 3V_0)\) — вертикально вниз (изохора). Замыкание цикла \(4-1\): горизонтальная линия влево (изобара \(p=p_0\)). Описание графика \(p-V\): - \(1 \to 2\): Вертикальный отрезок вверх от \(p_0\) до \(6p_0\) при \(V = V_0\). - \(2 \to 3\): Участок гиперболы от точки \((6p_0, V_0)\) до \((2p_0, 3V_0)\). - \(3 \to 4\): Вертикальный отрезок вниз от \(2p_0\) до \(p_0\) при \(V = 3V_0\). - \(4 \to 1\): Горизонтальный отрезок влево от \(3V_0\) до \(V_0\) при \(p = p_0\).