Контрольная работа по алгебре 8 класс I полугодие Вариант 1

Контрольная работа за I полугодие. Алгебра, 8 класс. Вариант 1. Задание 1. Представьте в виде дроби: а) \( \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} \) Приведем к общему знаменателю \( 6x \): \( \frac{3 \cdot 3}{6x} - \frac{2 \cdot 2}{6x} = \frac{9 - 4}{6x} = \frac{5}{6x} \) б) \( \frac{3x}{4y} \cdot \frac{10}{3x^2} \) Сократим на \( 3x \): \( \frac{1}{4y} \cdot \frac{10}{x} = \frac{10}{4xy} = \frac{5}{2xy} \) в) \( \frac{6x^2}{5y} : \frac{3x}{10y^2} \) Заменим деление умножением на обратную дробь: \( \frac{6x^2}{5y} \cdot \frac{10y^2}{3x} = \frac{6x^2 \cdot 10y^2}{5y \cdot 3x} = \frac{60x^2y^2}{15xy} = 4xy \) Задание 2. Постройте график функции \( y = \frac{6}{x} \). Какова область определения функции? Область определения: \( D(y): x \neq 0 \), то есть \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Для построения составим таблицу значений: x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 Графиком является гипербола, расположенная в I и III четвертях. Задание 3. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) \( \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7} \) б) \( \frac{4}{\sqrt{3} - 1} \) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (\sqrt{3} + 1) \): \( \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{2} = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2 \) Задание 4. Решите уравнение: а) \( x^2 = 0,81 \) \( x = \pm \sqrt{0,81} \) \( x_1 = 0,9; x_2 = -0,9 \) б) \( 3x^2 - 18x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 3x(x - 6) = 0 \) \( 3x = 0 \) или \( x - 6 = 0 \) \( x_1 = 0; x_2 = 6 \) в) \( 100x^2 - 16 = 0 \) \( 100x^2 = 16 \) \( x^2 = \frac{16}{100} \) \( x = \pm \sqrt{0,16} \) \( x_1 = 0,4; x_2 = -0,4 \) г) \( x^2 - 15x + 63 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 225 - 252 = -27 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.