Нахождение обратной матрицы A: Подробное решение

Для нахождения обратной матрицы \( A^{-1} \) воспользуемся формулой: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \] где \( \text{adj}(A) \) — присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений). 1. Вычислим определитель матрицы \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 4 & 6 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \det(A) = -2 \cdot (5 \cdot 1 - 4 \cdot 6) - (-1) \cdot (3 \cdot 1 - 4 \cdot 4) + (-2) \cdot (3 \cdot 6 - 5 \cdot 4) \] \[ \det(A) = -2 \cdot (5 - 24) + 1 \cdot (3 - 16) - 2 \cdot (18 - 20) \] \[ \det(A) = -2 \cdot (-19) + 1 \cdot (-13) - 2 \cdot (-2) = 38 - 13 + 4 = 29 \] 2. Найдем алгебраические дополнения \( A_{ij} \): \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 24 = -19 \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - 16) = 13 \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 18 - 20 = -2 \] \[ A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 + 12) = -11 \] \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -2 + 8 = 6 \] \[ A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -(-12 + 4) = 8 \] \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = -4 + 10 = 6 \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -(-8 + 6) = 2 \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -10 + 3 = -7 \] 3. Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее: \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -19 & -11 & 6 \\ 13 & 6 & 2 \\ -2 & 8 & -7 \end{pmatrix} \] 4. Разделим каждый элемент на определитель \( \det(A) = 29 \): \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{19}{29} & -\frac{11}{29} & \frac{6}{29} \\ \frac{13}{29} & \frac{6}{29} & \frac{2}{29} \\ -\frac{2}{29} & \frac{8}{29} & -\frac{7}{29} \end{pmatrix} \] Правильный ответ соответствует третьему варианту в списке.