Решение задачи: Определение ранга матрицы

Для нахождения ранга матрицы \( A \) приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 & 1 & 7 \\ 8 & 7 & -2 & -1 & 15 \\ 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \end{pmatrix} \] 1. Заметим связь между строками. Попробуем сложить первую и третью строки: \[ (3 + 2) = 5 \] \[ (4 + (-1)) = 3 \] \[ (-5 + 8) = 3 \] \[ (1 + (-3)) = -2 \] \[ (7 + 1) = 8 \] Полученная строка \( (5, 3, 3, -2, 8) \) не совпадает со второй строкой напрямую. 2. Проверим, является ли вторая строка суммой первой и третьей. Сложим первую и третью строки и сравним со второй: \[ \text{Строка}_1 + \text{Строка}_3 = (3+2, 4-1, -5+8, 1-3, 7+1) = (5, 3, 3, -2, 8) \] Вторая строка матрицы: \( (8, 7, -2, -1, 15) \). Они не пропорциональны. 3. Выполним преобразования. Вычтем из первой строки третью: \[ \text{Строка}_1 - \text{Строка}_3 = (3-2, 4-(-1), -5-8, 1-(-3), 7-1) = (1, 5, -13, 4, 6) \] Теперь обнулим первые элементы во второй и третьей строках, используя новую первую строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & 5 & -13 & 4 & 6 \\ 8 & 7 & -2 & -1 & 15 \\ 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[S_3 - 2S_1]{S_2 - 8S_1} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -13 & 4 & 6 \\ 0 & -33 & 102 & -33 & -33 \\ 0 & -11 & 34 & -11 & -11 \end{pmatrix} \] 4. Заметим, что вторая строка пропорциональна третьей. Если разделить вторую строку на 3, мы получим в точности третью строку: \[ -33 / 3 = -11 \] \[ 102 / 3 = 34 \] \[ -33 / 3 = -11 \] \[ -33 / 3 = -11 \] Следовательно, вторая и третья строки линейно зависимы. Одну из них можно обнулить: \[ \begin{pmatrix} 1 & 5 & -13 & 4 & 6 \\ 0 & -11 & 34 & -11 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Матрица имеет 2 ненулевые строки в ступенчатом виде. Значит, ранг матрицы равен 2. Ответ: 2