Решение:

Задание 2. Докажите тождество: \[ \frac{2 \sin^2 x \cdot \text{ctg } x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \text{tg } 2x \] Доказательство: Преобразуем левую часть выражения. Вспомним, что \( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \), а в знаменателе находится формула косинуса двойного угла \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \). \[ \frac{2 \sin^2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} \] Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \): \[ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \text{tg } 2x \] Левая часть равна правой. Тождество доказано. Задание 3. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{x+2}}{x^2 - 9} \] Решение: Область определения функции (ООФ) задается двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. 1) \( x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \) 2) \( x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 3, x \ne -3 \) Так как \( -3 \) не входит в промежуток \( x \ge -2 \), учитываем только ограничение \( x \ne 3 \). Ответ: \( D(y) = [-2; 3) \cup (3; +\infty) \) Задание 4. Вычислите: \[ \sin(-750^\circ) + \text{ctg}(-945^\circ) \] Решение: Используем свойства нечетности функций и периодичность (\( 360^\circ \) для синуса и \( 180^\circ \) для котангенса). 1) \( \sin(-750^\circ) = -\sin(750^\circ) = -\sin(750^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} \) 2) \( \text{ctg}(-945^\circ) = -\text{ctg}(945^\circ) = -\text{ctg}(945^\circ - 5 \cdot 180^\circ) = -\text{ctg}(45^\circ) = -1 \) Складываем результаты: \[ -\frac{1}{2} + (-1) = -1,5 \] Ответ: \( -1,5 \) Задание 5. Докажите, что функция \( f(x) = 2x^5 + 4 \text{tg } x \) является нечетной. Доказательство: Функция называется нечетной, если для любого \( x \) из области определения выполняется условие \( f(-x) = -f(x) \). Проверим это условие: \[ f(-x) = 2(-x)^5 + 4 \text{tg}(-x) \] Так как степень 5 нечетная, то \( (-x)^5 = -x^5 \). Так как тангенс — нечетная функция, то \( \text{tg}(-x) = -\text{tg } x \). \[ f(-x) = -2x^5 - 4 \text{tg } x \] Вынесем минус за скобки: \[ f(-x) = -(2x^5 + 4 \text{tg } x) = -f(x) \] Условие \( f(-x) = -f(x) \) выполняется, следовательно, функция нечетная. Что и требовалось доказать.