Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Для того чтобы определить тип системы, исследуем её на совместность. У нас 4 уравнения и 3 неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Приведем её к ступенчатому виду. Сначала вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; из третьей — первую; из четвертой — первую, умноженную на 2: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -4 & -8 & | & -32 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Разделим вторую строку на \(-4\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь прибавим вторую строку к третьей и четвертой: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \end{pmatrix} \] Поменяем местами третью и четвертую строки и разделим новую третью строку на \(-5\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Анализ результата: 1. Ранг основной матрицы \( rang(A) = 3 \). 2. Ранг расширенной матрицы \( rang(\bar{A}) = 3 \). 3. Количество неизвестных \( n = 3 \). Так как \( rang(A) = rang(\bar{A}) = n \), то по теореме Кронекера-Капелли система является совместной и имеет единственное решение (определенная). Правильные ответы: 1. определенная 2. совместная