Решение системы уравнений методом Жордана-Гаусса

Для решения системы уравнений методом Жордана-Гаусса составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 5 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 = 3 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 2 & -3 & 1 & | & 0 \\ 3 & -2 & 4 & | & 5 \\ 1 & -1 & 3 & | & 3 \end{pmatrix} \] Выполним преобразования: 1. Из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. 2. Из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3. 3. Из 4-й строки вычтем 1-ю. Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -7 & -5 & | & -12 \\ 0 & -8 & -5 & | & -13 \\ 0 & -3 & 0 & | & -3 \end{pmatrix} \] Из последней строки сразу находим \(x_2\): \[ -3x_2 = -3 \implies x_2 = 1 \] Подставим \(x_2 = 1\) во вторую строку: \[ -7(1) - 5x_3 = -12 \] \[ -7 - 5x_3 = -12 \] \[ -5x_3 = -5 \implies x_3 = 1 \] Теперь подставим \(x_2 = 1\) и \(x_3 = 1\) в первое уравнение: \[ x_1 + 2(1) + 3(1) = 6 \] \[ x_1 + 2 + 3 = 6 \] \[ x_1 + 5 = 6 \implies x_1 = 1 \] Проверим решение на третьем уравнении: \[ 3(1) - 2(1) + 4(1) = 3 - 2 + 4 = 5 \] Равенство верно. Таким образом, решение системы: \[ x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1 \] Правильный ответ: \( x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1 \) (третий вариант).