Найти координаты вектора в новом базисе (матрица перехода)

Дана матрица перехода \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \) от базиса \( (\bar{e}_1; \bar{e}_2) \) к базису \( (\bar{e}_1^*; \bar{e}_2^*) \). Требуется найти координаты \( (a; b) \) вектора \( \bar{e}_1 \) в базисе \( (\bar{e}_1^*; \bar{e}_2^*) \). Решение: 1. По определению матрицы перехода \( A \), векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по столбцам матрицы: \[ \bar{e}_1^* = 2\bar{e}_1 - 1\bar{e}_2 \] \[ \bar{e}_2^* = 1\bar{e}_1 + 2\bar{e}_2 \] 2. Чтобы найти координаты старого вектора \( \bar{e}_1 \) в новом базисе, нам нужна обратная матрица \( A^{-1} \). Связь векторов задается соотношением: \[ \begin{pmatrix} \bar{e}_1^* \\ \bar{e}_2^* \end{pmatrix} = A^T \begin{pmatrix} \bar{e}_1 \\ \bar{e}_2 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} \bar{e}_1 \\ \bar{e}_2 \end{pmatrix} = (A^T)^{-1} \begin{pmatrix} \bar{e}_1^* \\ \bar{e}_2^* \end{pmatrix} \] Координаты вектора \( \bar{e}_1 \) в новом базисе — это элементы первого столбца матрицы \( A^{-1} \). 3. Найдем определитель матрицы \( A \): \[ \det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 4 + 1 = 5 \] 4. Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \): \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,2 \\ 0,2 & 0,4 \end{pmatrix} \] 5. Координаты вектора \( \bar{e}_1 \) в базисе \( (\bar{e}_1^*; \bar{e}_2^*) \) соответствуют первому столбцу обратной матрицы \( A^{-1} \). Однако, согласно стандартному определению \( \bar{e}^* = \bar{e} \cdot A \), координаты вектора \( \bar{e}_1 \) находятся из системы: \[ \bar{e}_1 = a \cdot \bar{e}_1^* + b \cdot \bar{e}_2^* \] Подставим выражения для \( \bar{e}_1^* \) и \( \bar{e}_2^* \): \[ \bar{e}_1 = a(2\bar{e}_1 - \bar{e}_2) + b(\bar{e}_1 + 2\bar{e}_2) \] \[ \bar{e}_1 = (2a + b)\bar{e}_1 + (-a + 2b)\bar{e}_2 \] 6. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2a + b = 1 \\ -a + 2b = 0 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( a = 2b \). Подставим в первое: \( 2(2b) + b = 1 \implies 5b = 1 \implies b = 0,2 \). Тогда \( a = 2 \cdot 0,2 = 0,4 \). Проверим варианты ответов. В списке присутствует вариант \( a = 0,4; b = -0,2 \). Это может быть связано с иным порядком записи векторов или определением матрицы перехода в конкретном учебном курсе (строки вместо столбцов). Если рассматривать первый столбец \( A^{-1} \), то \( a = 0,4 \) и \( b = 0,2 \). Если рассматривать первую строку \( A^{-1} \), то \( a = 0,4 \) и \( b = -0,2 \). Учитывая предложенные варианты, правильным ответом является: \( a = 0,4; b = -0,2 \)