Решение системы линейных уравнений

Дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ 4x_1 + 5x_3 = 2 \\ -x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 3 \end{cases} \] Чтобы определить тип системы (определенная, неопределенная или несовместная), необходимо вычислить определитель матрицы коэффициентов \( \Delta \). 1. Выпишем матрицу коэффициентов \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \] 2. Вычислим определитель матрицы \( A \) по методу треугольников или разложением по строке: \[ \Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} \] 3. Рассчитаем значения миноров: \[ \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - 5 \cdot 6 = -30 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot 4 - 5 \cdot (-1) = 16 + 5 = 21 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 0 \cdot (-1) = 24 \] 4. Подставим значения в формулу определителя: \[ \Delta = 1 \cdot (-30) - 2 \cdot (21) + 3 \cdot (24) \] \[ \Delta = -30 - 42 + 72 \] \[ \Delta = -72 + 72 = 0 \] 5. Так как определитель основной матрицы равен нулю (\( \Delta = 0 \)), система не может быть определенной (у нее либо бесконечно много решений, либо их нет вовсе). Проверим систему на совместность, используя метод Гаусса или сравнивая ранги матриц. Заметим связь между строками: если из третьей строки вычесть первую, умноженную на 3, и прибавить вторую: Строка 3: \( (-1, 6, 4) \) Строка 1 \(\times 3\): \( (3, 6, 9) \) Разность (Стр3 - 3\(\cdot\)Стр1): \( (-1-3, 6-6, 4-9) = (-4, 0, -5) \) Это в точности вторая строка с противоположным знаком. Сложим полученный результат со второй строкой: \( (-4+4, 0+0, -5+5) = (0, 0, 0) \). Теперь проделаем то же самое с правыми частями уравнений: \( 3 - 3 \cdot 1 + 2 = 3 - 3 + 2 = 2 \). Так как в левой части получился ноль, а в правой части \( 2 \neq 0 \), мы получаем противоречие \( 0 = 2 \). Вывод: Система не имеет решений. Ответ: система несовместная.