Решение задачи: Линейная независимость векторов

Выяснить, являются ли линейно независимыми векторы: \( \bar{a}_1 = (1; 4; 6) \), \( \bar{a}_2 = (1; -1; 3) \), \( \bar{a}_3 = (1; 1; 3) \). Решение: 1. Векторы являются линейно независимыми, если определитель матрицы, составленной из их координат, не равен нулю. Если же определитель равен нулю, то векторы линейно зависимы. 2. Составим матрицу \( A \), записав координаты векторов в строки (или столбцы): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] 3. Вычислим определитель этой матрицы \( \det(A) \). Для удобства разложим его по первому столбцу или воспользуемся правилом треугольника: \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \] 4. Вычислим значения определителей второго порядка: \[ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 3 - 3 \cdot 1 = -3 - 3 = -6 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 12 - 6 = 6 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 6 \cdot (-1) = 12 + 6 = 18 \] 5. Подставим полученные значения в общую формулу: \[ \det(A) = 1 \cdot (-6) - 1 \cdot 6 + 1 \cdot 18 \] \[ \det(A) = -6 - 6 + 18 = 6 \] 6. Так как \( \det(A) = 6 \), и это значение не равно нулю (\( 6 \neq 0 \)), то векторы являются линейно независимыми. Ответ: линейно независимы.