Разложение вектора по базису: подробное решение

Даны векторы \(\bar{a}_1 = (4; 5; 2)\), \(\bar{a}_2 = (3; 0; 1)\), \(\bar{a}_3 = (-1; 4; 2)\) и \(\bar{b} = (5; 7; 8)\). Требуется найти разложение вектора \(\bar{b}\) по базису \((\bar{a}_1, \bar{a}_2, \bar{a}_3)\). Решение: 1. Пусть разложение имеет вид: \[ \bar{b} = x \cdot \bar{a}_1 + y \cdot \bar{a}_2 + z \cdot \bar{a}_3 \] Это соответствует системе линейных уравнений для координат: \[ \begin{cases} 4x + 3y - z = 5 \\ 5x + 0y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 8 \end{cases} \] 2. Решим систему методом подстановки или исключения. Из второго уравнения выразим \(x\) через \(z\): \[ 5x = 7 - 4z \implies x = \frac{7 - 4z}{5} \] 3. Подставим это выражение в первое и третье уравнения: \[ \begin{cases} 4(\frac{7 - 4z}{5}) + 3y - z = 5 \\ 2(\frac{7 - 4z}{5}) + y + 2z = 8 \end{cases} \] Умножим оба уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ \begin{cases} 28 - 16z + 15y - 5z = 25 \\ 14 - 8z + 5y + 10z = 40 \end{cases} \] Упростим: \[ \begin{cases} 15y - 21z = -3 \\ 5y + 2z = 26 \end{cases} \] 4. Разделим первое уравнение на 3: \[ 5y - 7z = -1 \] Теперь вычтем это уравнение из уравнения \(5y + 2z = 26\): \[ (5y + 2z) - (5y - 7z) = 26 - (-1) \] \[ 9z = 27 \implies z = 3 \] 5. Найдем \(y\), подставив \(z = 3\) в уравнение \(5y + 2z = 26\): \[ 5y + 2(3) = 26 \implies 5y + 6 = 26 \implies 5y = 20 \implies y = 4 \] 6. Найдем \(x\), подставив \(z = 3\) в выражение для \(x\): \[ x = \frac{7 - 4(3)}{5} = \frac{7 - 12}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \] 7. Получили коэффициенты: \(x = -1\), \(y = 4\), \(z = 3\). Следовательно, разложение вектора имеет вид: \[ \bar{b} = -1 \cdot \bar{a}_1 + 4 \cdot \bar{a}_2 + 3 \cdot \bar{a}_3 \] Сравним с предложенными вариантами ответов. Ответ: \( \bar{b} = -\bar{a}_1 + 4\bar{a}_2 + 3\bar{a}_3 \)