Доказательство нечетности функции f(x) = 2x^5 + 4 tg x

Задание 5. Доказать, что функция \( f(x) = 2x^5 + 4 \text{tg} x \) является нечетной. Доказательство: Функция называется нечетной, если для любого \( x \) из области определения выполняется условие: \( f(-x) = -f(x) \). Область определения данной функции симметрична относительно начала координат: \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Проверим выполнение условия: \[ f(-x) = 2(-x)^5 + 4 \text{tg}(-x) \] Так как степень 5 нечетная, то \( (-x)^5 = -x^5 \). Так как тангенс — нечетная функция, то \( \text{tg}(-x) = -\text{tg} x \). Подставим эти значения: \[ f(-x) = 2(-x^5) + 4(-\text{tg} x) = -2x^5 - 4 \text{tg} x \] Вынесем минус за скобки: \[ f(-x) = -(2x^5 + 4 \text{tg} x) \] Заметим, что выражение в скобках — это исходная функция \( f(x) \): \[ f(-x) = -f(x) \] Условие нечетности выполняется. Что и требовалось доказать. Задание 6. Исследование функции \( f(x) = 3 - 2x - x^2 \) по схеме. 1. Область определения: Так как это квадратичная функция (многочлен), то \( D(f) = \mathbb{R} \) (все действительные числа). 2. Четность/нечетность: \[ f(-x) = 3 - 2(-x) - (-x)^2 = 3 + 2x - x^2 \] \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \). Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). 3. Точки пересечения с осями координат: С осью \( Oy \) (\( x = 0 \)): \[ f(0) = 3 - 2(0) - 0^2 = 3 \] Точка (0; 3). С осью \( Ox \) (\( f(x) = 0 \)): \[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \] Умножим на -1: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 1 \). Точки (-3; 0) и (1; 0). 4. Координаты вершины параболы: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1 \] \[ y_0 = f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4 \] Вершина в точке (-1; 4). 5. Направление ветвей: Так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( a = -1 \) (\( a < 0 \)), ветви параболы направлены вниз. 6. Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; -1] \). Функция убывает на промежутке \( [-1; +\infty) \). 7. Множество значений: Так как вершина является точкой максимума, то \( E(f) = (-\infty; 4] \).