Какие множества образуют линейное пространство?

Для того чтобы множество элементов образовывало линейное пространство, оно должно быть замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, а также содержать нулевой элемент. Проанализируем предложенные варианты: 1. Множество всех решений системы \( n \) линейных однородных уравнений с \( n \) переменными. Это множество является линейным пространством. Сумма двух решений однородной системы также является решением, произведение решения на число — тоже решение, и всегда существует тривиальное (нулевое) решение. 2. Множество натуральных чисел. Не является линейным пространством. Оно не содержит нуля (в классическом определении), не содержит отрицательных чисел (незамкнуто относительно умножения на \(-1\)) и незамкнуто относительно умножения на дробные числа. 3. Множество всех многочленов степени не выше \( n \). Является линейным пространством. Сумма двух таких многочленов и произведение многочлена на число дают многочлен степени не выше \( n \). Нулевой многочлен также входит в это множество. 4. Множество четных чисел. Не является линейным пространством над полем вещественных чисел. Хотя сумма двух четных чисел — число четное, при умножении четного числа на произвольное вещественное число (например, \( 2 \cdot 0,5 = 1 \)) результат может перестать быть четным или даже целым. 5. Множество всех ненулевых матриц. Не является линейным пространством. Оно не содержит нулевого элемента (нулевой матрицы), что нарушает аксиомы линейного пространства. Также сумма двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Правильные ответы: — множество всех решений системы \( n \) линейных однородных уравнений с \( n \) переменными — множество всех многочленов степени не выше \( n \)