Вектор d как линейная комбинация векторов a и b: Решение

Вектор \( \bar{d} = \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} \) представить в виде линейной комбинации векторов \( \bar{a} \) и \( \bar{b} \), если \( \bar{a} = (3; -1) \), \( \bar{b} = (1; -2) \), \( \bar{c} = (-1; 7) \). Решение: 1. Сначала найдем координаты вектора \( \bar{d} \), сложив соответствующие координаты векторов \( \bar{a} \), \( \bar{b} \) и \( \bar{c} \): \[ \bar{d} = (3 + 1 + (-1); -1 + (-2) + 7) = (3; 4) \] 2. Нам нужно найти такие числа \( \alpha \) и \( \beta \), чтобы выполнялось равенство: \[ \bar{d} = \alpha \bar{a} + \beta \bar{b} \] Запишем это в виде системы уравнений для координат: \[ \begin{cases} 3\alpha + 1\beta = 3 \\ -1\alpha - 2\beta = 4 \end{cases} \] 3. Из первого уравнения выразим \( \beta \): \[ \beta = 3 - 3\alpha \] 4. Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ -\alpha - 2(3 - 3\alpha) = 4 \] \[ -\alpha - 6 + 6\alpha = 4 \] \[ 5\alpha = 10 \] \[ \alpha = 2 \] 5. Теперь найдем \( \beta \), подставив значение \( \alpha \): \[ \beta = 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3 \] 6. Проверим результат: \( \alpha = 2 \), \( \beta = -3 \). Линейная комбинация: \( 2 \cdot (3; -1) - 3 \cdot (1; -2) = (6 - 3; -2 + 6) = (3; 4) \). Координаты совпали. Ответ: \( \alpha = 2, \beta = -3 \)