Проверка векторов на базис в R3: подробное решение

Три вектора в пространстве \( R^3 \) образуют базис тогда и только тогда, когда они линейно независимы. Это означает, что определитель матрицы, составленной из этих векторов, не должен быть равен нулю. Проверим каждую тройку векторов: 1. \( (0;0;1), (0;1;0), (0;1;1) \) Составим определитель: \[ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] Так как первый столбец полностью состоит из нулей, определитель равен \( 0 \). Векторы линейно зависимы и не образуют базис. 2. \( (1;1;1), (0;1;0), (2;2;2) \) Заметим, что третий вектор является первым вектором, умноженным на 2: \( (2;2;2) = 2 \cdot (1;1;1) \). Если один вектор является линейной комбинацией других, то система линейно зависима. Определитель равен \( 0 \). Не образуют базис. 3. \( (1;1;1), (0;1;0), (1;0;0) \) Составим определитель: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \] Разложим по третьей строке: \[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1 \] Определитель \( -1 \neq 0 \). Векторы линейно независимы и образуют базис. 4. \( (0;0;1), (1;0;0), (0;1;0) \) Это стандартные орты (единичные векторы осей координат), просто записанные в другом порядке. Составим определитель: \[ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \] Разложим по первой строке: \[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 0) = 1 \] Определитель \( 1 \neq 0 \). Векторы линейно независимы и образуют базис. Правильные ответы: — \( (1;1;1), (0;1;0), (1;0;0) \) — \( (0;0;1), (1;0;0), (0;1;0) \)