Нахождение высоты треугольной призмы: Решение задачи

В треугольной призме высота \( H \) может быть найдена через объем параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Объем призмы \( V_{пр} = S_{осн} \cdot H \). С другой стороны, объем параллелепипеда \( V_{пар} = |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}| \), а объем треугольной призмы составляет его половину. Однако проще всего использовать формулу высоты как проекции бокового ребра на нормаль к основанию. Дано: \( \vec{AB} = (0; 1; -1) \) \( \vec{AC} = (2; -1; 4) \) \( \vec{AA_1} = (-3; 2; 2) \) Решение: 1. Найдем вектор нормали \( \vec{n} \) к основанию как векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \bar{i}(4 - 1) - \bar{j}(0 - (-2)) + \bar{k}(0 - 2) = 3\bar{i} - 2\bar{j} - 2\bar{k} \] Координаты нормали: \( \vec{n} = (3; -2; -2) \). 2. Высота призмы \( H \) равна модулю проекции вектора бокового ребра \( \vec{AA_1} \) на направление нормали \( \vec{n} \): \[ H = \frac{|\vec{AA_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] 3. Вычислим скалярное произведение \( \vec{AA_1} \cdot \vec{n} \): \[ \vec{AA_1} \cdot \vec{n} = (-3) \cdot 3 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) = -9 - 4 - 4 = -17 \] 4. Вычислим модуль вектора нормали \( |\vec{n}| \): \[ |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \] 5. Находим высоту: \[ H = \frac{|-17|}{\sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} \] Ответ: \( \sqrt{17} \)