Найти объем тетраэдра ABCD по координатам вершин

Задача: Найти объем тетраэдра \(ABCD\), если известны координаты его вершин \(A(2; -1; 1)\), \(B(5; 5; 4)\), \(C(3; 2; -1)\), \(D(4; 1; 3)\). Решение: 1. Найдем координаты векторов, исходящих из одной вершины (например, из вершины \(A\)): \[ \vec{AB} = (5-2; 5-(-1); 4-1) = (3; 6; 3) \] \[ \vec{AC} = (3-2; 2-(-1); -1-1) = (1; 3; -2) \] \[ \vec{AD} = (4-2; 1-(-1); 3-1) = (2; 2; 2) \] 2. Объем тетраэдра вычисляется по формуле через смешанное произведение векторов: \[ V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| \] 3. Вычислим смешанное произведение векторов как определитель матрицы: \[ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 3 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \] Раскроем определитель по первой строке: \[ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 3 \cdot (3 \cdot 2 - (-2) \cdot 2) - 6 \cdot (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 2) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2) \] \[ \Delta = 3 \cdot (6 + 4) - 6 \cdot (2 + 4) + 3 \cdot (2 - 6) \] \[ \Delta = 3 \cdot 10 - 6 \cdot 6 + 3 \cdot (-4) \] \[ \Delta = 30 - 36 - 12 = -18 \] 4. Находим объем: \[ V = \frac{1}{6} \cdot |-18| = \frac{18}{6} = 3 \] Ответ: 3