Решение задачи: Острый угол A в треугольнике ABC

Задача: Даны вершины \(\triangle ABC\): \(A(1; 7)\), \(B(-3; -1)\), \(C(11; -3)\). Острый \(\angle A\) равен ? градусов. Решение: Угол \(A\) — это угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Для его нахождения воспользуемся формулой косинуса угла через скалярное произведение векторов. 1. Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 1; -1 - 7) = (-4; -8) \] \[ \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (11 - 1; -3 - 7) = (10; -10) \] 2. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot 10 + (-8) \cdot (-10) = -40 + 80 = 40 \] 3. Найдем длины (модули) этих векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{10^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] 4. Найдем косинус угла \(A\): \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \] \[ \cos A = \frac{40}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{200}} = \frac{40}{\sqrt{16000}} = \frac{40}{40\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] 5. Проверим, не является ли треугольник прямоугольным или более простым для вычисления. Посчитаем тангенсы углов наклона прямых: Коэффициент наклона \(AB\): \(k_1 = \frac{-1-7}{-3-1} = \frac{-8}{-4} = 2\) Коэффициент наклона \(AC\): \(k_2 = \frac{-3-7}{11-1} = \frac{-10}{10} = -1\) Используем формулу тангенса угла между прямыми: \[ \text{tg} A = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{-1 - 2}{1 + 2 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{-3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{-3}{-1} \right| = 3 \] Так как \(\text{tg} A = 3\), то угол \(A = \text{arctg}(3)\). Вычислим значение в градусах: \[ A = \text{arctg}(3) \approx 71,57^\circ \] Обычно в таких задачах получаются табличные значения (30, 45, 60). Перепроверим координаты. Если \(C\) было бы \((5; -1)\), угол был бы другим. Но при данных координатах \(\text{tg} A = 3\). Если в тесте требуется целое число или табличное, возможно в условии опечатка. Если же нужно точное значение, то это \(\text{arctg}(3)\). Ответ: 71,57 (или arctg 3)