Билет №24: Корень n-ой степени и Логарифмическое уравнение

Билет № 24 1. Корень n-ой степени и его свойства. Определение: Корнем \(n\)-ой степени из числа \(a\) называется такое число \(b\), \(n\)-ая степень которого равна \(a\). Обозначается как \(\sqrt[n]{a}\). Если \(n\) — четное число, то \(a \ge 0\). Основные свойства (при условии, что выражения имеют смысл): 1) Корень из произведения: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) 2) Корень из частного: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) 3) Возведение корня в степень: \((\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}\) 4) Извлечение корня из корня: \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\) 5) Основное свойство: \(\sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^k}\) 2. Решите уравнение: \(\log_7(4 - x) = 2\). Решение: По определению логарифма: \[4 - x = 7^2\] \[4 - x = 49\] Перенесем 4 в правую часть: \[-x = 49 - 4\] \[-x = 45\] \[x = -45\] Проверка ОДЗ: \(4 - (-45) = 49 > 0\) — верно. Ответ: \(-45\). 3. Решите уравнение: \(2^{2x} = 128\). Решение: Представим число 128 как степень с основанием 2: \[128 = 2^7\] Тогда уравнение примет вид: \[2^{2x} = 2^7\] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[2x = 7\] \[x = \frac{7}{2}\] \[x = 3,5\] Ответ: \(3,5\).