Длина хорды эллипса x^2 + 2y^2 = 18: Решение задачи

Задача: Длина хорды эллипса \(x^2 + 2y^2 = 18\), делящей угол между осями пополам, равна... Решение: 1. Прямая, делящая угол между осями координат пополам, — это биссектриса координатных углов. Ее уравнение имеет вид: \[ y = x \quad \text{или} \quad y = -x \] Так как эллипс симметричен относительно осей, длина хорды на обеих прямых будет одинаковой. Возьмем \(y = x\). 2. Найдем точки пересечения этой прямой с эллипсом. Подставим \(y = x\) в уравнение эллипса: \[ x^2 + 2(x)^2 = 18 \] \[ x^2 + 2x^2 = 18 \] \[ 3x^2 = 18 \] \[ x^2 = 6 \] Отсюда получаем две точки с абсциссами: \[ x_1 = \sqrt{6}, \quad x_2 = -\sqrt{6} \] 3. Так как \(y = x\), то координаты точек пересечения: \[ M_1(\sqrt{6}; \sqrt{6}) \quad \text{и} \quad M_2(-\sqrt{6}; -\sqrt{6}) \] 4. Найдем длину хорды как расстояние между этими точками по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{6})^2 + (-\sqrt{6} - \sqrt{6})^2} \] \[ d = \sqrt{(-2\sqrt{6})^2 + (-2\sqrt{6})^2} \] \[ d = \sqrt{4 \cdot 6 + 4 \cdot 6} \] \[ d = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} \] 5. Упростим полученный радикал: \[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \] Ответ: \(4\sqrt{3}\)