Расстояние между параллельными плоскостями: решение

Задача: Расстояние между параллельными плоскостями \(4x + 3y - 5z - 8 = 0\) и \(4x + 3y - 5z + 12 = 0\) равно... Решение: Для нахождения расстояния между двумя параллельными плоскостями, заданными уравнениями \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\) и \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), используется формула: \[ d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] 1. Выпишем коэффициенты из уравнений плоскостей: \[ A = 4, \quad B = 3, \quad C = -5 \] \[ D_1 = -8, \quad D_2 = 12 \] 2. Подставим значения в формулу: \[ d = \frac{|12 - (-8)|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2}} \] 3. Вычислим числитель: \[ |12 + 8| = 20 \] 4. Вычислим знаменатель: \[ \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} \] 5. Упростим выражение для расстояния: \[ d = \frac{20}{\sqrt{50}} = \frac{20}{5\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \] 6. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ d = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Ответ: \(2\sqrt{2}\)