Расстояние от точки A(4;3;0) до плоскости M1M2M3: Решение

Задача: Расстояние от точки \(A(4; 3; 0)\) до плоскости, проходящей через три точки \(M_1(1; 3; 0)\), \(M_2(4; -1; 2)\), \(M_3(3; 0; 1)\) равно... Решение: 1. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки. Для этого воспользуемся определителем: \[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \] Подставим координаты точек \(M_1, M_2, M_3\): \[ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z - 0 \\ 4 - 1 & -1 - 3 & 2 - 0 \\ 3 - 1 & 0 - 3 & 1 - 0 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z \\ 3 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] 2. Раскроем определитель по первой строке: \[ (x - 1) \cdot (-4 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) - (y - 3) \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + z \cdot (3 \cdot (-3) - (-4) \cdot 2) = 0 \] \[ (x - 1) \cdot (-4 + 6) - (y - 3) \cdot (3 - 4) + z \cdot (-9 + 8) = 0 \] \[ 2(x - 1) + 1(y - 3) - 1z = 0 \] \[ 2x - 2 + y - 3 - z = 0 \] \[ 2x + y - z - 5 = 0 \] Уравнение плоскости: \(2x + y - z - 5 = 0\). 3. Найдем расстояние от точки \(A(4; 3; 0)\) до этой плоскости по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Подставим \(A=2, B=1, C=-1, D=-5\) и координаты точки \(A(4, 3, 0)\): \[ d = \frac{|2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|8 + 3 - 0 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} \] \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} \] 4. Избавимся от иррациональности: \[ d = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6} \] Ответ: \(\sqrt{6}\)